leyes de esfuerzos · formulario de vigas · cte db se
leyes de esfuerzos de vigas: momentos, cortantes, reacciones y flechas
Elige los apoyos de la viga (biapoyada, voladizo, biempotrada, empotrada y apoyada o continua de dos vanos), su luz y sus cargas por m², y la calculadora hace las combinaciones del CTE, dibuja la ley de cortantes y la de momentos del lado que tracciona, con la línea de cierre en las hiperestáticas y la alternancia de la sobrecarga en la continua, y comprueba la pieza: un perfil de acero con sus flechas, o la sección de hormigón o de madera que elijas arriba. Debajo, el formulario de vigas con sus momentos, cortantes, reacciones y flechas, calculado con el mismo motor.
sección · deformaciones · tensiones
resultadoscomprobaciones
·
diagnóstico
calculando…
como viga la viga: de la carga al esfuerzola combinación que manda · cte db se 4.2.2
cómo leerlo. arriba, la viga con sus apoyos y la carga de cálculo de la combinación que manda, qd = 1,35·gk + 1,50·qk (cte db se 4.2.2), con las reacciones. en medio, la ley de cortantes v(x), la pendiente de la de momentos: donde v pasa por cero, m es máximo. abajo, la ley de momentos m(x), dibujada del lado que tracciona, como se enseña en españa: el relleno azul es la cara traccionada, donde va la armadura. en una viga empotrada, la discontinua es la línea de cierre, que une los momentos de los empotramientos, y de ella cuelga, en rayado fino, la ley de la misma viga biapoyada: m(x) = m0(x) + la línea de cierre. en la continua de dos vanos, la línea de cierre se quiebra en el apoyo central, y la carga de cada vano es la de su hipótesis de alternancia (flechas más cortas en el vano solo con las permanentes). la tabla dice qué da cada combinación; en madera, cada una con su kmod. en acero y madera, la última banda es la deformada de servicio, la flecha que más pide frente a su límite (en discontinua), dibujada con la escala vertical aumentada el número de veces que dice su rótulo: sin aumentar no se vería. en hormigón no se dibuja: la flecha se comprueba con la esbeltez l/d, que va en la tabla.
como pilar de la planta al pilar: bajada de cargascte db se-ae 3.1.2 · cte db se 4.2.2
cómo leerlo. a la izquierda (en el móvil, arriba), la planta alrededor del pilar, a escala: el área tributaria, rayada, es la mitad de cada vano que llega a él, y todo lo que cae dentro baja por este pilar. las líneas gruesas son las vigas; en un pilar de fachada o de esquina, la línea negra es la fachada: no hay vano al otro lado, pero su peso sí carga en el pilar. a la derecha (debajo), el axil del pilar justo debajo de cada forjado, de la cubierta al pie: cada barra suma lo de todas las plantas de encima, porque un pilar no lleva su planta, las lleva todas. en azul medio, las permanentes g; en azul claro, las variables q con la combinación característica. abajo, nk, sin mayorar, el que se lleva a la zapata, y nd, mayorado (cte db se 4.2.2) y marcado en negro: el que se comprueba en la sección. «comprobar este pilar» lo escribe en la calculadora.
como pilar el pilar: pandeo y segundo ordencurvatura nominal · código estructural a19 5.8.8
cómo leerlo. a la izquierda, el pilar con sus apoyos: la recta discontinua es el pilar ideal y la línea gruesa, el real, exagerado, con la imperfección ei = l0/400 (nunca se construye recto del todo) y, si es esbelto, la flecha de segundo orden e2: el axil empuja sobre un pilar torcido y lo flecta más. l0 es la distancia entre los puntos de inflexión (los círculos), la longitud efectiva. a la derecha (en el móvil, debajo), la esbeltez λ = l0/i frente a la límite λlim: por debajo, el pilar es corto y el segundo orden se desprecia (a19 5.8.3.1). debajo, el momento de la sección crítica apilado como en la barra de la flexión, el del análisis, el de la imperfección y el de segundo orden, frente a la excentricidad mínima nd·e0 (discontinua) y al momento último mu (la raya gruesa): manda el mayor, med.
sección ábaco de armado simétricoas1 = as2 · ν–μ–ω
cómo leerlo. es el ábaco de las escuelas, dibujado para tu sección: cada curva es el diagrama n–m de la sección con la misma armadura arriba y abajo y una cuantía mecánica total ω = as,tot·fyd/(b·h·fcd), en coordenadas reducidas, ν = nd/(b·h·fcd) en vertical y μ = md/(b·h²·fcd) en horizontal. Depende de d1/h, del acero (εyd) y, por encima de fck = 50, del hormigón: arriba dice para qué vale. Tu punto (μ, ν) cae entre dos curvas, y la línea negra es la de su ω exacto, con el que la sección llega justo al 100 % (con la excentricidad mínima y, en un pilar con altura, la imperfección y el segundo orden). La discontinua es la cuantía máxima, 0,04·ac. Solo vale para armado simétrico: una viga se arma mejor con μ–ω, como en «resultados».
sección diagrama de interacción n–mtodas las parejas (m, n) que la sección resiste
cómo leerlo. la curva cerrada encierra los esfuerzos que la sección aguanta: a la derecha, momentos positivos (tracciona la cara inferior); a la izquierda, negativos. tu punto de cálculo (md, nd) cumple si queda dentro. dos lecturas del porcentaje. el segmento a la altura de nd va de un borde al otro: son los momentos que resiste la sección con ese axil, y la comprobación de flexión compara tu momento con ellos (a n constante). el rayo discontinuo sale del origen, pasa por tu punto (con nd·e0 si manda la excentricidad mínima) y llega al anillo del borde: escala n y m a la vez, con la misma excentricidad e = m/n. como la curva es convexa y rodea el origen, las dos lecturas coinciden en si cumple; solo cambia el número, que con el rayo puede salir mayor o menor (en un pilar por encima del punto balanceado, más axil deja menos momento y el rayo da más). en un pilar con su altura, una flecha horizontal va de tus esfuerzos (1.er orden) al momento con la imperfección y, si es esbelto, el segundo orden (2.º orden): ese punto es el que se comprueba. con armado distinto arriba y abajo, la curva no es simétrica y el segmento puede no pasar por m = 0.cómo leerlo. cada punto del borde es un plano de rotura, con su nu y su mu; el punto negro es el de la fibra neutra x del deslizador. arrástralo por el borde (o muévelo con las flechas del teclado) y x le sigue: de abajo arriba, de la tracción (dominio 1) a la compresión (dominio 5). la rama de la izquierda es la de los momentos negativos, con la sección girada. al pasar por un punto del borde, su plano se marca en el diagrama de pivotes.
sección diagrama de pivotesdominios de deformación
cómo leerlo. cada recta es un plano de deformación de rotura. todas giran alrededor de uno de los tres pivotes: a (el acero se alarga un 10 ‰), b (el hormigón se acorta 3,5 ‰ en la fibra más comprimida) y c (2 ‰ a 3h/7 en compresión casi centrada). la recta gruesa es la de tu sección: el dominio en el que cae dice cómo rompería. al pasar por un punto del borde del diagrama n–m, su plano se marca aquí en discontinua. en explorar, toca un dominio para llevar la fibra neutra a él.
sección leyes de los materiales σ–εlos puntos de tu plano · código estructural a19 3.1.7 y 3.2.7
cómo leerlo. a la izquierda (en el móvil, arriba), la ley del hormigón, la parábola-rectángulo: sube en parábola hasta εc2 (2 ‰) y sigue plana en fcd hasta el acortamiento último εcu (3,5 ‰; por encima de fck = 50, los de la tabla 3.1, que cambian también el exponente n de la parábola). en naranja, el tramo que trabaja en tu sección, de la fibra neutra (o de la fibra menos comprimida, si toda la sección lo está) a la más comprimida, que es el punto: en el dominio 2 no llega a εcu porque el acero se agota antes, y por eso el bloque rectangular queda fuera de su hipótesis. a la derecha (debajo), la ley del acero: elástica hasta εyd = fyd/es y, pasada, plana en fyd. cada punto es una cara con barras, plastificada si pasa de εyd (trabaja a fyd, lo que se supone en el cálculo a mano) o elástica si no: en el dominio 4 el hormigón se agota con el acero de tracción todavía elástico, y la rotura avisa poco. el pivote a, el 10 ‰, es el convenio de la ehe-08 que fija los planos de los dominios 1 y 2; la rama horizontal del código estructural (a19 3.2.7(2)b) no tiene límite de alargamiento, y por eso sigue en discontinua. en explorar, los puntos se mueven con x.
como vigael cortante: bielas y estriboscelosía de mörsch · código estructural a19 6.2
en un pilar, el mismo dibujo, tumbado: el «apoyo» es el extremo con más cortante (el nudo con la viga o el forjado) y los estribos son sus cercos, que la lista comprueba con 9.5.3. cómo leerlo. a la izquierda (en el móvil, arriba), el tramo de la pieza junto al apoyo, a escala, como una celosía: la armadura de tracción (azul) y el hormigón comprimido (naranja), arriba o abajo según qué cara tracciona el momento, son sus cordones, separados z = 0,9·d; las bielas de hormigón, inclinadas θ, bajan la carga hacia el apoyo y los estribos (azul) la vuelven a subir, como los montantes de una cercha. con cotθ = 1 las bielas van a 45°; más tumbadas (cotθ hasta 2), cada biela cruza más estribos y cada uno rinde más, pero las bielas se aplastan antes. la celosía añade tracción a la armadura longitudinal: por eso se prolonga al = z·cotθ/2 más allá de donde la pide la flexión (el decalaje). a la derecha (debajo), vd frente a lo que resiste la pieza: sin estribos (vrd,c), con ellos (vrd,s, sin sumar el hormigón) y lo que aguantan las bielas (vrd,máx); si esta no cabe a la escala, su barra va cortada. con la viga de las cargas, el cortante se lee en los apoyos, del lado seguro, y en cada cara traccionada: manda la sección que más pide.
como pilarcomo viga modos de pandeo y vuelcolongitudes a escala · amplitud exagerada: no es la flecha
cómo leerlo. los alzados son la pieza como pilar: cómo pandea en cada eje, que solo cuenta con compresión. la planta, si la hay, es la pieza como viga: cómo vuelca, que solo cuenta con my y sin arriostrar. cada alzado es la pieza pandeando en un eje, con sus apoyos: flectando respecto a y se desplaza en el plano de su canto, y respecto a z, en el de su ancho (la banda gris es lo que se ve de la sección). la deformada es el modo de pandeo de sus extremos y lk es la distancia entre sus puntos de inflexión (los círculos): la longitud de la barra biarticulada equivalente. en ménsula, la onda sigue por debajo del empotramiento y lk = 2l. las longitudes van a escala; la amplitud, exagerada. manda el eje con el coeficiente de pandeo menor, casi siempre el débil: tiene menos radio de giro y su lk pesa más. si no está arriostrada, la planta enseña cómo vuelca: el ala comprimidala viga se va de lado entre dos arriostramientos laterales.
como pilarcomo viga curvas de pandeo y vuelco χ – λ̄ec3 6.3.1 y 6.3.2
cómo leerlo. χ es la fracción de la resistencia plástica que queda tras el pandeo. cuanto más esbelta la pieza (λ̄ mayor), menos χ; cuanto más imperfecta la sección (curva d frente a a), menos todavía. las marcas y, z y t (la flexotorsión del upn) son la pieza como pilar: pandeo, que solo cuenta con compresión; lt es la pieza como viga: el vuelco lateral, que solo cuenta con my y sin arriostrar. huecas, las que no intervienen con tus esfuerzos; «tu pieza», en la leyenda, solo las curvas de las que intervienen.
como viga momento resistente y longitud sin arriostrarvuelco lateral · ec3 6.3.2
cómo leerlo. la curva es el momento que aguanta el perfil a vuelco (mb,rd) según la distancia entre arriostramientos; la recta horizontal, tu my,ed. la vertical discontinua, lb,máx, es la mayor separación entre arriostramientos, en décimas de metro y redondeada hacia abajo, con la que el perfil cumple todas las comprobaciones de la lista: con my sola cae donde se cruzan curva y recta; con axil o mz cae antes, porque la interacción 6.61/6.62 también depende de χLT. no aparece si el perfil no cumple ni con arriostramientos muy juntos, o si cumple en todo el tramo dibujado.
sección clasificación de la secciónec3 tabla 5.2
cómo leerlo. cada pared se compara con sus límites de esbeltez c/t, que dependen de ε = √(235/fy) y de cómo trabaja (el axil comprime toda el alma; la flexión, solo una parte). la clase de la sección es la peor de sus paredes: 1 y 2 usan el módulo plástico, 3 el elástico y 4 queda fuera de alcance. con axil y flexión, el límite de clase 3 puede quedar por debajo del de clase 2: entonces no hay tramo de clase 3, lo que pasa del límite de clase 2 es clase 4 y la marca que no actúa va en discontinua.
sección tensiones normales en la secciónσ(y) = n/a + m·y/i
cómo leerlo. la flexión reparte las tensiones en una recta: comprime una cara y tracciona la otra. el axil desplaza esa recta entera, y el punto de media altura es lo que pone él solo, n/a. cada línea es la resistencia de un esfuerzo por separado: las discontinuas, fm,d (kcrit·fm,d si hay vuelco), son las de la flexión; la punteada es la del axil, ft,0,d en tracción o kc·fc,0,d en compresión, y se compara con n/a. son referencias, no el criterio: con axil y flexión el ec5 no suma tensiones contra una resistencia, suma cocientes (ecuaciones 6.17, 6.19 o 6.23 y 6.24). con flexión esviada, las dos rectas finas son las de las caras laterales (z = ±b/2), donde mz suma o resta σm,z,d; el criterio es entonces la ecuación 6.11 o 6.12 (o la combinada), con km = 0,7. el veredicto es el de la lista de comprobaciones.
sección flexión esviada: σ en las esquinasreparto elástico · σ = n/a ± my/wy ± mz/wz
cómo leerlo. con my y mz a la vez, la tensión normal de cada punto es la suma de lo que pone el axil (n/a, igual en toda la sección), my (que cambia con la altura) y mz (que cambia con el ancho): un plano. la fibra neutra, donde σ = 0, queda inclinada, y la esquina en la que los tres sumandos tienen el mismo signo es la pésima (con un anillo). los momentos se dibujan comprimiendo la cara de arriba (my) y la de la derecha (mz): las comprobaciones usan sus valores absolutos, el sentido que más carga una esquina. es el reparto elástico, y no es el criterio: en clase 1 o 2 la comprobación de la sección usa wpl (la sección plastifica antes de agotarse), así que una esquina puede pasar de fyd y cumplir; en clase 3, la comprobación lineal (ec3 6.2.1(7)) es justo esta suma entre fyd. en un upn, la derecha son las puntas de las alas, la fibra de wel,z. el tubo circular no tiene esquinas: su punto pésimo está en el borde, hacia donde apunta el momento resultante √(my² + mz²).el ec5 no compara la σ de la esquina con una resistencia: suma σm,y,d/fm,y,d + km·σm,z,d/fm,z,d (y la otra, con km en el primer sumando) con km = 0,7 en las secciones rectangulares (6.1.6(2)), porque el pico de una esquina no agota la pieza.
como viga cortante y apoyoτ con kcr · σc,90 con kc,90 · ec5 6.1.7 y 6.1.5
cómo leerlo. el cortante se reparte en el canto en una parábola: nulo en las caras y máximo en la fibra neutra, τmáx = 1,5·vd/(bef·h). las fendas de secado reducen el ancho que trabaja a bef = kcr·b (ec5 6.1.7): la curva llena es la que se compara con fv,d; la discontinua, la que saldría con el ancho entero. en el apoyo, la reacción rd comprime la madera de través en la longitud de contacto l: σc,90,d = rd/(b·l), frente a kc,90·fc,90,d. kc,90 depende del apoyo (cte db se-m 6.1.5): en un apoyo puntual (aislado), como el extremo de una viga, 1,5 en maciza y 1,75 en laminada (con l ≤ 400 mm); en un apoyo continuo (durmiente), 1,25 y 1,5. la norma deja contar 30 mm más de contacto a cada lado (en discontinua; en el extremo de una viga, solo hacia dentro): la herramienta no los suma, del lado seguro.
como pilar curva de pandeo kc – λrelec5 6.3.2
cómo leerlo. por debajo de λrel = 0,3 la pieza no pandea y kc = 1. por encima, la resistencia a compresión se multiplica por kc. la laminada (βc = 0,1) es más recta que la maciza (0,2) y pierde menos. las marcas y y z son la pieza como pilar: huecas si no hay compresión.
material factor kmodclase de servicio × duración de la carga · ec5 tabla 3.1
cómo leerlo. la madera aguanta más cuanto más corta es la carga y más seca está. la combinación pésima manda: si actúan peso propio y uso, se toma el kmod de la carga de menor duración de la combinación. la celda marcada es la tuya.
qué pasa siun dato cada vez · la misma comprobación enteraescalera de perfiles · el más ligero que cumpleun dato cada vez · cada comprobaciónmapa · dos datos a la vez · la lista entera en cada celda
ancho b × canto h
cómo leerlo. cada punto es la comprobación entera de tu sección con un solo dato cambiado, el que eliges arriba, y todo lo demás igual. la curva es mu, el momento que resiste la sección con tu axil nd, con el color del dominio en que rompe; la discontinua, el momento que se le pide (md, o nd·e0 o med si mandan la excentricidad mínima o el segundo orden de un pilar). donde la curva va por encima, la flexión cumple; lo rayado es donde no cumple la lista entera, que también mira el cortante, las cuantías y la separación de las barras: por eso el mínimo no siempre está en el cruce, y más de un dato puede volver a fallar (más barras de las que caben; mucho canto con las mismas barras, por la cuantía mínima). con más acero la sección pasa al dominio 4: el acero ya no plastifica y mu apenas sube, rompe sin avisar y armar más no compensa; ahí toca más canto. las barras que cambian son las de la cara traccionada (las dos, si el armado es simétrico). con la viga de las cargas encendida, cada punto lleva su peso propio.cómo leerlo. cada barra es un perfil de la familia, de menos a más peso, con tus mismos esfuerzos, longitudes y calidad: su largo es el aprovechamiento máximo de la lista entera (hasta el 200 %; más allá se corta) y la línea vertical, el 100 %. el triángulo marca el más ligero que cumple, el mismo que da «sugerir perfil mínimo», y el fondo gris, el tuyo; a la derecha, lo que manda en cada uno. toca una barra, o recórrelas con las flechas y pulsa intro, para usar ese perfil. con la viga de las cargas, cada perfil lleva su peso propio y sus flechas.cómo leerlo. cada línea es una comprobación de tu pieza con un solo dato cambiado, el que eliges arriba, y la línea gruesa horizontal, el 100 %. con el canto, la flexión baja con 1/h² (σm = m/w y w = b·h²/6), el cortante con 1/h y la compresión perpendicular del apoyo no cambia (σc,90 = rd/(b·l)): un apoyo que no cumple se arregla con más ancho o más longitud de apoyo, no con más canto. lo rayado es donde no cumple la lista entera. con la viga de las cargas, cada canto lleva su peso propio y sus flechas.cómo leerlo. cada celda es la comprobación entera de tu sección con el canto de su fila y las barras de su columna (las de la cara traccionada, o las dos si el armado es simétrico), y todo lo demás igual. el color es el aprovechamiento de la lista entera en cuatro tramos, de 0–50 % a 90–100 %: cuanto más oscuro, más justa; lo rayado no cumple. la línea negra es u = 1, interpolada entre las celdas: separa lo que cumple de lo que no. el punto es tu sección y el marco, la más ligera que cumple (el menor canto y, con él, el menor acero). más barras dejan bajar el canto hasta que no caben o la sección pasa al dominio 4, donde más acero apenas suma: a partir de ahí, solo el canto. toca una celda, o recórrelas con las flechas y pulsa intro, para usar sus valores. con la viga de las cargas, cada celda lleva su peso propio.cómo leerlo. cada columna es un perfil de la familia, de menos a más peso, y cada fila una separación lb entre los arriostramientos laterales del ala comprimida, con tus esfuerzos y todo lo demás igual. el color es el aprovechamiento de la lista entera en cuatro tramos, de 0–50 % a 90–100 %; lo rayado no cumple y la línea negra es u = 1. en cada fila, el primer perfil que cumple es el mínimo para esa lb: arriostrar más (lb menor) deja usar un perfil más ligero, hasta que manda la flexión o el cortante de la sección, que no dependen de lb. el punto es tu perfil y el marco, el más ligero que cumple con tu lb. con la viga de las cargas, una lb que no es l, l/2 o l/3 va con c1 = 1, como la pondría el formulario. toca una celda para usar ese perfil y esa lb.cómo leerlo. cada celda es la comprobación entera de tu pieza con el ancho de su columna y el canto de su fila, y todo lo demás igual. el color es el aprovechamiento de la lista entera en cuatro tramos, de 0–50 % a 90–100 %: cuanto más oscuro, más justa; lo rayado no cumple y la línea negra es u = 1, interpolada entre las celdas. el punto es tu sección y el marco, la de menos área (menos madera) que cumple: con la misma área, más canto que ancho, porque la flexión crece con h² y el cortante solo con h; pero el apoyo (σc,90 = rd/(b·l)) solo mejora con más ancho, y el vuelco castiga las piezas muy estrechas. toca una celda, o recórrelas con las flechas y pulsa intro, para usar ese ancho y ese canto. con la viga de las cargas, cada celda lleva su peso propio y sus flechas.
como viga misma viga, tres materialesla sección mínima de cada uno · a la misma escala
cómo leerlo. la misma viga, la de las cargas, con la sección mínima de cada material: la de menos canto que cumple la lista entera, elu y servicio (flechas en el acero y la madera, esbeltez l/d en el hormigón), con su propio peso. están dibujadas a la misma escala y colgadas de la misma cara superior, con el canto acotado y el peso propio en una barra, también a la misma escala para las tres. cada material va con lo demás de su formulario: el hormigón con su ancho, su resistencia y el armado del modo dimensionar (y tus estribos, juntados si sus reglas lo piden); el acero con la familia de tu perfil (ipe si no es una i ni una h) y su calidad, y con la otra familia para comparar; la madera con su ancho, tipo y clase, en cantos de 20 mm la maciza y de 40 mm la laminada. es un predimensionado para comparar materiales, no un proyecto: cada solución se abre en su calculadora con todos sus datos.
guía
cómo se comprueba una sección en estado límite último
El estado límite último (elu) es la situación en la que la estructura agota su resistencia: rompe, pandea o vuelca. Se comprueba con los esfuerzos mayorados (las cargas multiplicadas por sus coeficientes de seguridad, 1,35 las permanentes y 1,50 las variables) frente a las resistencias minoradas de los materiales. Una sección cumple cuando cada esfuerzo de cálculo es menor o igual que su resistencia de cálculo: el cociente entre ambos, el índice de aprovechamiento, no pasa del 100 %.
Para entrenar el examen, «practicar» esconde la solución y deja el desarrollo en blanco: escribes la fórmula con tus números y cada resultado se corrige al momento (±1 %); después dices en qué dominio rompe, qué clase tiene el perfil o qué kmod le toca a la madera, qué comprobación manda y si cumple. Cada ejercicio nuevo lleva su número en el enlace, para repartir el mismo a toda la clase.
Para decidir entre dos soluciones, «fijar como a» guarda la de ahora: cambia el canto, las barras, el perfil o la clase de la madera y cada comprobación sale en dos columnas, la de a y la de ahora, con la diferencia en puntos («−9 puntos · más margen», «deja de cumplir»); los gráficos dibujan a en gris discontinuo con punto hueco y el informe y el excel llevan las dos, con los datos que cambian. La solución a se queda en tu navegador y su enlace se puede copiar.
leyes de esfuerzos de vigas: formulario de momentos, cortantes, reacciones y flechas
Las leyes de una viga, la de cortantes V(x) y la de momentos M(x), salen del equilibrio y, en las hiperestáticas, de que los apoyos no giren o no bajen. Este formulario las da para los cinco tipos de viga del panel de cargas (biapoyada, voladizo, biempotrada, empotrada y apoyada y continua de dos vanos iguales) con una carga repartida q por metro y con una carga puntual p, en función de la luz l y, la flecha, de la rigidez e·i. No están escritas a mano: las calcula el mismo motor que dibuja las leyes y comprueba las vigas en la calculadora, con q = p = l = 1, cada vez que se publica la página.
Los momentos van con su signo, positivo si tracciona la cara inferior, y las leyes se dibujan del lado que tracciona, como se enseña en España: el relleno azul dice dónde va la armadura. En las hiperestáticas, la línea de cierre en discontinua y, colgada de ella, la ley de la misma viga biapoyada en rayado fino.
1 · carga repartida q
biapoyada · carga repartida q · flecha máxima 5·q·l⁴/(384·e·i)voladizo · carga repartida q · flecha máxima q·l⁴/(8·e·i)biempotrada · carga repartida q · flecha máxima q·l⁴/(384·e·i)empotrada y apoyada · carga repartida q · flecha máxima q·l⁴/(184,6·e·i)continua de dos vanos, los dos cargados · q en los dos vanos · flecha máxima q·l⁴/(184,6·e·i)continua de dos vanos, un vano cargado · q solo en el vano 1 · flecha máxima q·l⁴/(109,3·e·i)
viga
momento del vano
momento del apoyo
cortante máximo
reacciones
flecha máxima
biapoyada
q·l²/8 a l/2
0
q·l/2
ra = q·l/2 · rb = q·l/2
5·q·l⁴/(384·e·i)
voladizo
0
−q·l²/2
q·l
ra = q·l
q·l⁴/(8·e·i)
biempotrada
q·l²/24 a l/2
−q·l²/12
q·l/2
ra = q·l/2 · rb = q·l/2
q·l⁴/(384·e·i)
empotrada y apoyada
9·q·l²/128 a 5l/8 del empotramiento
−q·l²/8
5·q·l/8
ra = 5·q·l/8 · rb = 3·q·l/8
q·l⁴/(184,6·e·i)
continua de dos vanos, los dos cargados
9·q·l²/128 a 3l/8 del apoyo extremo
−q·l²/8
5·q·l/8
ra = 3·q·l/8 · rb = 5·q·l/4 · rc = 3·q·l/8
q·l⁴/(184,6·e·i)
continua de dos vanos, un vano cargado
49·q·l²/512 a 7l/16 del apoyo extremo
−q·l²/16
9·q·l/16
ra = 7·q·l/16 · rb = 5·q·l/8 · rc = −q·l/16
q·l⁴/(109,3·e·i)
La posición del momento del vano se mide desde el apoyo de la izquierda, el empotramiento en la empotrada y apoyada. La flecha es la máxima de la viga, con la deformación por flexión (en madera, la herramienta suma la de cortante y la fluencia). La continua con un vano cargado tiene una reacción negativa: el apoyo del vano descargado tira hacia abajo, porque ese vano se levanta.
2 · carga puntual p
viga
momento del vano
momento del apoyo
cortante máximo
reacciones
flecha máxima
biapoyada, p en el centro
p·l/4 bajo la carga
0
p/2
ra = p/2 · rb = p/2
p·l³/(48·e·i)
voladizo, p en el extremo
0
−p·l
p
ra = p
p·l³/(3·e·i)
biempotrada, p en el centro
p·l/8 bajo la carga
−p·l/8
p/2
ra = p/2 · rb = p/2
p·l³/(192·e·i)
empotrada y apoyada, p en el centro
5·p·l/32 bajo la carga
−3·p·l/16
11·p/16
ra = 11·p/16 · rb = 5·p/16
p·l³/(107,3·e·i)
continua de dos vanos, p en el centro de un vano
13·p·l/64 bajo la carga
−3·p·l/32
19·p/32
ra = 13·p/32 · rb = 11·p/16 · rc = −3·p/32
p·l³/(66,6·e·i)
Con la puntual en otro punto, a una distancia a de la izquierda y b = l − a de la derecha, el momento bajo la carga de la biapoyada es p·a·b/l, y los de empotramiento de la biempotrada, −p·a·b²/l² y −p·a²·b/l². La calculadora la pone donde le digas y suma su ley a la de la repartida.
3 · la viga continua de dos vanos y la alternancia de sobrecargas
Una viga continua de dos vanos iguales es una vez hiperestática: el momento del apoyo central sale de la ecuación de los tres momentos (Clapeyron), con los apoyos extremos sin momento. Con carga repartida, cada vano cargado suma su q·l²/16:
mb = −(qd,1 + qd,2)·l²/16
Con los dos vanos igual de cargados, mb = −q·l²/8 y cada vano trabaja como una empotrada y apoyada: el apoyo central no gira, por simetría. Pero la sobrecarga de uso no tiene por qué estar en los dos vanos a la vez, y con un solo vano cargado el apoyo central gira hacia él, que se parece más a una biapoyada: su momento llega a 49·q·l²/512, un 36 % más que los 9·q·l²/128 de la viga cargada entera. Es la alternancia de sobrecargas: las permanentes cargan siempre los dos vanos, con el mismo 1,35 en los dos (CTE DB SE 4.2.2: favorable o desfavorable «considerada globalmente»), y las variables se ponen donde más piden. En dos vanos son tres hipótesis:
las variables en los dos vanos: el mayor momento del apoyo central y el mayor cortante, junto a él;
solo en el primer vano o solo en el segundo: el mayor momento de ese vano, y la mayor flecha.
La calculadora hace las tres con cada combinación del CTE, comprueba cada esfuerzo con la peor y lo dice en su desarrollo, con la carga de cada vano, qd,1 y qd,2. ¿Es obligatorio? El Código Estructural pide para el hormigón las hipótesis de carga que den las condiciones críticas en todas las secciones, con «la carga distribuida en damero en tramos alternos» como ejemplo (anejo 19, 5.1.3), y el Eurocódigo 1 pone la sobrecarga en la parte más desfavorable de la zona de influencia (EN 1991-1-1, 6.2.1). El CTE DB SE-AE dice, en cambio, que sus sobrecargas de uso «ya incluyen el efecto de la alternancia de carga, salvo en el caso de elementos críticos, como vuelos, o en el de zonas de aglomeración» (3.1.1(7)): en acero y madera, alternar queda del lado seguro. La herramienta alterna siempre.
Con la viga por defecto del panel como continua de dos vanos de 5 m y el perfil de acero por defecto, el apoyo central se lleva md = 23,16 kN·m con la sobrecarga en los dos vanos y el vano, 15,22 kN·m con la sobrecarga solo en él (13,03 kN·m con los dos vanos cargados). Ábrelo en la calculadora.
4 · de la ley a la comprobación
Hormigón: el vano (m+, con la alternancia) y el apoyo central (m−, la sección girada: tracciona arriba), cada uno con su flexión y su cuantía mínima; el cortante, también junto al apoyo central, donde tracciona la cara superior. La flecha, por la esbeltez l/d del anejo 19 (7.4.2) con k = 1,3: los dos vanos de una continua de dos vanos son vanos extremos.
Acero: manda el mayor momento, casi siempre el del apoyo central, y el vuelco toma lb = l, la luz de cada vano, con c1 = 1 (el del momento uniforme, del lado seguro: con el momento del apoyo central, la ley de cada vano no es la de la biapoyada). Junto al apoyo central el momento comprime el ala inferior, que el forjado no arriostra.
Madera: cada combinación en cada hipótesis, con su kmod; la reacción del apoyo central, la mayor, es la de la compresión perpendicular, y la luz eficaz de vuelco, l (la tabla 6.2 del CTE DB SE-M no tiene vigas continuas).
Flechas, en acero y en madera: las de los tres criterios del CTE, con las variables también alternadas, cada una con la luz de su vano.
Alcance: dos vanos iguales, con la misma sección, carga repartida y, como mucho, una puntual. Una continua de tres o más vanos, con luces distintas, o un pórtico necesitan un programa de cálculo de estructuras, como Ftool o edubeam; con sus esfuerzos, la calculadora comprueba la sección.
de la carga al esfuerzo: combinaciones del cte, leyes de una viga y bajada de cargas de un pilar
La calculadora pide los esfuerzos de cálculo ya hechos, y es justo ahí donde más se falla: mayorar dos veces, olvidar el peso propio o aplicar q·L²/8 a un voladizo. El panel «¿no tienes los esfuerzos? sácalos de las cargas», arriba del formulario, los saca de una viga de un vano: las cargas por metro cuadrado con su ancho tributario, sus combinaciones según el CTE DB SE y la ley de momentos de cada una. Con él encendido, los esfuerzos de los tres materiales salen de la misma viga y se ven en solo lectura, con «de la viga».
1 · de la carga por metro cuadrado a la carga por metro de viga
Una viga recoge la franja de forjado que apoya en ella, su ancho tributario s: en un forjado continuo, la mitad de la luz del forjado a cada lado. Las cargas de superficie (kN/m²) por s dan cargas por metro de viga (kN/m), a las que se suman las lineales (un tabique o una fachada encima) y el peso propio de la viga, con su peso específico medio (CTE DB SE-AE 2.1 y anejo C): 25 kN/m³ el hormigón armado, 78,5 kN/m³ el acero (un IPE 300 pesa 0,42 kN/m) y la densidad media de su clase la madera. Si sumas el peso propio, no lo metas también en gk.
La sobrecarga de uso es la de la tabla 3.1 del CTE DB SE-AE, por categorías:
uso
qk (kN/m²)
ψ0 · ψ1 · ψ2
A1 · viviendas, habitaciones de hoteles y hospitales
2
0,7 · 0,5 · 0,3
A2 · trasteros
3
0,7 · 0,5 · 0,3
B · zonas administrativas
2
0,7 · 0,5 · 0,3
C1 a C5 · zonas de acceso al público
3 a 5
0,7 · 0,7 · 0,6
D1 y D2 · zonas comerciales
5
0,7 · 0,7 · 0,6
F · cubierta transitable de acceso privado
1
los del uso desde el que se accede
G1 · cubierta solo para conservación (inclinación < 20°)
1 (0,4 si es ligera sobre correas)
0 · 0 · 0
nieve, hasta 1000 m de altitud
la del lugar
0,5 · 0,2 · 0
nieve, por encima de 1000 m
la del lugar
0,7 · 0,5 · 0,2
Los ψ son los de la tabla 4.2 del CTE DB SE. La sobrecarga de una cubierta G1 no se combina con las demás acciones variables, ni con la nieve (nota 7 de la tabla 3.1). La tabla 3.2 deja reducir la sobrecarga de uso de un elemento horizontal según su superficie tributaria; en la viga, la herramienta no lo hace, del lado seguro. En un pilar, la bajada de cargas sí reduce por el número de plantas (apartado 8).
2 · las combinaciones del CTE
En estado límite último, situación persistente (CTE DB SE 4.2.2, ecuación 4.3), actúan a la vez todas las permanentes con γG = 1,35, una variable dominante con γQ = 1,50 y las demás con 1,50·ψ0 (tabla 4.1), y cada variable tiene que ser la dominante en un análisis distinto:
qd = 1,35·gk + 1,50·qk,1 + Σ 1,50·ψ0,i·qk,i
Con uso y nieve salen 1,35·gk + 1,50·qk + 1,50·0,5·sk y 1,35·gk + 1,50·sk + 1,50·0,7·qk. Una variable que no está es la de coeficiente 0 (favorable), así que también cuentan las combinaciones con menos variables, y la de solo las permanentes, 1,35·gk. En hormigón y en acero manda la de más carga; en madera, no siempre (apartado 4). En servicio (4.3.2) las cargas van sin mayorar: la característica, gk + qk,1 + Σ ψ0·qk,i; la frecuente, con ψ1 en la dominante y ψ2 en las demás; y la casi permanente, gk + Σ ψ2·qk,i. Son las de la flecha.
La viga por defecto del panel, de 3 m con 1,2 m de ancho tributario, 2 kN/m² de permanentes y vivienda, con la madera por defecto (100×220, C24): gk = 1,2·2 + 0,09 de peso propio = 2,49 kN/m, qk = 1,2·2 = 2,40 kN/m y qd = 1,35·gk + 1,50·qk = 6,96 kN/m, que dan Md = qd·L²/8 = 7,83 kN·m y Vd = qd·L/2 = 10,44 kN: los esfuerzos que la madera trae escritos por defecto.
3 · las leyes de esfuerzos
Con la carga de cálculo, la herramienta dibuja la ley de cortantes V(x) y la de momentos M(x), esta del lado que tracciona, como se enseña en España: el momento positivo, abajo, tracciona la cara inferior, y el relleno azul dice dónde va la armadura. Los cinco tipos de viga, con carga repartida q (las calcula el motor; el formulario completo, con la puntual, las reacciones y las flechas, en leyes de esfuerzos de vigas):
viga
momento del vano
momento del apoyo
reacción mayor
biapoyada
q·l²/8 a l/2
0
q·l/2
voladizo
0
−q·l²/2, en el empotramiento
q·l
biempotrada
q·l²/24 a l/2
−q·l²/12
q·l/2
empotrada y apoyada
9·q·l²/128 a 5l/8 del empotramiento
−q·l²/8
5·q·l/8 (la del empotramiento)
continua de dos vanos
49·q·l²/512 con q solo en ese vano
−q·l²/8, en el apoyo central
5·q·l/4 (la del apoyo central)
Con una puntual P a una distancia a (y b = L − a): P·a·b/L en la biapoyada (P·L/4 en el centro); −P·a·b²/L² y −P·a²·b/L² en los extremos de la biempotrada; −P·a·b·(L + b)/(2L²) en el empotramiento de la empotrada y apoyada (−3PL/16 en el centro). En las hiperestáticas la herramienta lo hace por superposición: M(x) = M0(x) + MA·(1 − x/L) + MB·x/L. M0 es la ley de la misma viga biapoyada y la recta de MA a MB, la línea de cierre: la ley isostática «cuelga» de ella, que es como se dibuja a mano. El gráfico lo enseña así, con la línea de cierre en discontinua y la isostática en rayado fino.
4 · por qué en madera hay que mirar cada combinación
La resistencia de la madera depende de lo que dura la carga: kmod vale 0,60 con carga permanente, 0,80 con duración media (la sobrecarga de uso) y 0,90 con corta (el viento y la nieve por debajo de 1000 m), en clase de servicio 1. Cada combinación lleva el kmod de la acción de menor duración que contiene (CTE DB SE-M 2.2.3 y tabla 2.2). Por eso la de solo permanentes, con menos carga, puede mandar: con flexión, 1,35·G/0,60 supera a (1,35·G + 1,50·Q)/0,80 cuando G > 3,3·Q, lo que pasa en las cubiertas pesadas (ajardinadas, de teja con mucho relleno). La herramienta comprueba cada combinación con su kmod y da, de cada comprobación, la peor. Una cubierta ajardinada solo para conservación (G1) de 6 kN/m² sobre viguetas de C18 de 100×250 cada 1 m y de 3 m de luz, con 0,4 kN/m² de nieve: la de solo permanentes queda al 107 %; la de uso, con más carga y kmod = 0,80, al 95 %, y la de nieve, al 76 %. Mirar solo la de más carga daría «cumple» (las flechas también cumplen). Está resuelta, con su tabla de combinaciones, en los ejemplos de madera, y se abre en la calculadora.
5 · hormigón, acero y madera con la misma viga
Hormigón: en una viga con empotramientos hay dos secciones que comprobar, la del vano (m+, tracciona abajo) y la del apoyo (m−, tracciona arriba, con la sección girada), cada una con su flexión y su cuantía mínima en la cara que tracciona. En una biempotrada manda el apoyo: q·L²/12 es el doble que q·L²/24.
Acero: My,Ed y VEd salen de la viga, y el vuelco toma lb = L (o L/2 y L/3 con arriostramientos intermedios). El c1 de la tabla solo vale en la biapoyada: 1,13 con carga repartida y 1,35 con la puntual centrada. Con momentos en los extremos (biempotrada, empotrada y apoyada) la herramienta pone c1 = 1, el del momento uniforme, del lado seguro, y lo avisa; el voladizo, sin horquilla en el extremo libre, se calcula con lb = 2·L (2·L/n con arriostramientos intermedios) y c1 = 1.
Madera: además de Md y Vd, la reacción Rd del apoyo, la luz eficaz de vuelco de la tabla 6.2 del CTE DB SE-M (0,95·L con carga repartida en la biapoyada; en una empotrada, que la tabla no tiene, L, la del momento constante) y la duración de la combinación que manda.
Flechas: en acero y en madera, con la viga encendida, la lista acaba con las tres flechas del CTE (apartado 7); en hormigón, con la esbeltez L/d del Código Estructural, que no calcula la flecha (la flecha sin calcularla). El veredicto dice «cumple elu y els» o «no cumple: flecha».
Con la viga encendida, la tarjeta «misma viga, tres materiales» busca la sección mínima de cada material para esa viga, con su propio peso: el canto de hormigón con su ancho y el armado del modo dimensionar, el perfil más ligero de la familia (y el de la otra, ipe o heb) y el canto de madera con su ancho, tipo y clase. Las dibuja a la misma escala, con su canto y su peso propio, dice lo que impide ir a menos (un canto menos, o el perfil anterior, ya no cumple) y abre cada una en su calculadora.
Carga tipo, no es un proyecto. La tabla es la de esa tarjeta con la viga por defecto del panel, de 3 a 8 m: biapoyada, con 1,2 m de ancho tributario, 2 kN/m² de permanentes más el peso propio de cada sección y 2 kN/m² de uso de vivienda (A1), tabiques ordinarios (flecha activa l/400) y lo demás de cada material por defecto (el acero, sin arriostrar; la madera, en clase de servicio 1 y apoyada en 100 mm). Cada celda da la sección mínima, su peso propio y lo que no cumple justo por debajo, y se abre en su calculadora con todos sus datos. Sirve para comparar materiales y tener un orden de magnitud: un proyecto tiene sus cargas, sus apoyos y sus arriostramientos, y se comprueba con los suyos.
Antes de comprobar hace falta una sección que probar. En hormigón, el botón «proponer canto» usa la regla de práctica del artículo predimensionado de estructuras: el ejercicio resuelto: una viga de canto se tantea con h ≈ L/12 y un ancho de la mitad, subidos a los 5 cm siguientes (5 m → 45 × 25 cm); una viga plana hereda el canto del forjado, L/25 a L/20 de la luz del forjado. No es una norma: es el canto con el que empezar, y después se comprueba.
7 · las flechas: el estado límite de servicio
Resistir no basta: una viga que resiste puede flechar tanto que agriete los tabiques o se note al pisar. En acero y en madera la flecha manda a menudo sobre la resistencia, y un «cumple» sin flecha empuja a secciones demasiado pequeñas. El CTE DB SE 4.3.3.1 limita la flecha relativa, la flecha entre la luz, con tres criterios, cada uno con su combinación de servicio (4.3.2), con las cargas sin mayorar:
criterio
combinación
qué flecha cuenta
límite
integridad de los tabiques (1)
característica
la activa: la que llega con los tabiques ya hechos (las sobrecargas y lo que se pone después, como el solado)
L/500 con tabiques frágiles (gran formato, rasillones, placas) o pavimento rígido sin juntas; L/400 con tabiques ordinarios o pavimento rígido con juntas; L/300 en el resto
confort de los usuarios (2)
característica
solo la de las acciones variables
L/350
apariencia de la obra (3)
casi permanente
toda, con la fluencia en madera
L/300
La luz es la de la viga; en un voladizo, el doble del vuelo, porque el CTE compara dos puntos cualesquiera «tomando como luz el doble de la distancia entre ellos» (4.3.3.1(4)). La herramienta calcula la flecha integrando dos veces m/(E·I) con la ley de cada carga, la misma de los esfuerzos, y en el desarrollo da la fórmula del prontuario cuando la carga es repartida: 5·q·L⁴/(384·E·I) en la biapoyada, q·L⁴/(8·E·I) en el voladizo, q·L⁴/(384·E·I) en la biempotrada y q·L⁴/(185·E·I) en la empotrada y apoyada. En acero, E = 210 000 N/mm² e Iy del perfil, y «sugerir perfil mínimo» busca el más ligero que cumple también las flechas.
En madera hay dos cosas más. La deformación por cortante: con un módulo de cortante unas dieciséis veces menor que el de elasticidad, suma q·L²/(8·κ·G·A) a la flecha de flexión (κ = 5/6 en un rectángulo, con los valores medios E0,mean y Gmean del CTE DB SE-M 5.1): un 8,2 % en la vigueta por defecto, y más en piezas cortas y de canto. Y la fluencia: con la carga mantenida, la madera sigue deformándose. El CTE DB SE-M (7.1) suma a la flecha instantánea ψ2·kdef veces ella, con ψ2 = 1 en las permanentes y kdef = 0,60 en clase de servicio 1, 0,80 en la 2 y 2,00 en la 3 (tabla 7.1):
ufin = uinst,g·(1 + kdef) + uinst,q·(1 + ψ2·kdef)
En la vigueta por defecto (100×220, C24, 3 m, vivienda), uinst,g = 2,91 mm y uinst,q = 2,81 mm dan ufin = 7,97 mm: la fluencia añade un 39 %. La flecha activa resta lo instantáneo de lo que ya estaba al hacer los tabiques: uact = 6,46 mm, el 86 % de L/400. En la calculadora, la barra de cada flecha separa lo instantáneo, liso, de la fluencia, rayada, y el gráfico de la viga dibuja la deformada de la que más pide, con la escala vertical aumentada. En acero no hay fluencia, pero la flecha manda a menudo: todos los aceros tienen el mismo E, y un perfil que resiste puede no ser bastante rígido. Está resuelto en los ejemplos de acero, con una viga IPE de forjado que resiste y no cumple la flecha activa.
Alcance: un vano, o una continua de dos vanos iguales con la alternancia de las sobrecargas (la viga continua), con carga repartida y, como mucho, una puntual. Las continuas de más vanos o de luces distintas, los pórticos (para eso, Ftool o edubeam), las cargas móviles y el viento horizontal quedan fuera. La flecha del hormigón, que depende de la fisuración y de la fluencia, tampoco se calcula: se comprueba su esbeltez L/d (Código Estructural, anejo 19, 7.4.2; en la guía del hormigón, la flecha sin calcularla).
8 · de la planta al pilar: la bajada de cargas
Un pilar no lleva su planta: lleva todas las que tiene encima. El panel «¿de dónde sale nd? bájalo planta a planta» hace la bajada de cargas de un pilar de una retícula, de la cubierta a la zapata, con los datos del ejercicio resuelto del blog por defecto (y su vídeo), y «comprobar este pilar» escribe su axil en la calculadora, sin momentos, con la altura de la planta baja, el tramo que llega al pie, como altura del pilar: su longitud de pandeo es β·l con los extremos que tengas elegidos. Son cuatro pasos:
El área tributaria, la mitad de cada vano que llega al pilar: Atrib = (Lx1 + Lx2)/2·(Ly1 + Ly2)/2. En una retícula de 5 × 5 m, 25 m² un pilar central, 12,5 uno de fachada, que no tiene vano fuera, y 6,25 uno de esquina; a cambio, estos llevan la fachada de cada planta (7 kN/m una hoja exterior con tabique interior, tabla C.5 del CTE DB SE-AE). Es el reparto por mitades, sin la continuidad de las vigas: el primer pilar interior lleva algo más, y el 1,10 con el que se mayora en la práctica no es norma.
Lo que pesa cada planta: las permanentes por m² (forjado, solado, tabiquería y falso techo) por el área; las vigas, que en su ancho pesan más que el forjado, (hv·25 − gfor)·bv por metro en la media luz de cada una; y su tramo de pilar, con la sección de la calculadora. La sobrecarga de uso es la de la tabla 3.1. La cubierta, con su permanente, su uso y la nieve (1 kN/m² en una cubierta plana por debajo de 1000 m, 3.5.1).
La reducción de sobrecargas (CTE DB SE-AE 3.1.2 y tabla 3.2): en un pilar, la suma de las sobrecargas de un mismo uso que gravitan sobre él puede multiplicarse por 0,9 con 3 o 4 plantas de ese uso y por 0,8 con 5 o más, solo en las categorías A, B, C y D: ni un aparcamiento ni una cubierta se reducen. La de superficie (0,9 con 25 m², 0,8 con 50 y 0,7 con 100) es la de los elementos horizontales; en un pilar se puede aplicar a la vez que la de plantas solo si las de encima son del mismo uso y de usuarios distintos, y sola con 1 o 2 plantas. La norma dice «puede»: la herramienta reduce por plantas por defecto, como el blog, y deja no hacerlo.
Las combinaciones (CTE DB SE 4.2.2): las permanentes por 1,35, una variable dominante por 1,50 y las demás por 1,50·ψ0. El uso de las plantas, el de la cubierta y la nieve son acciones distintas (SE-AE 3.1.1(8)). La sobrecarga de una cubierta solo para conservación (G1) no se combina con ninguna otra variable (nota 7 de la tabla 3.1): ni con la nieve ni con el uso de las plantas. La de una cubierta transitable (F) sí, con el ψ0 del uso desde el que se accede (0,7 en una vivienda), y la nieve la acompaña con 0,5 por debajo de 1000 m (0,7 por encima).
En el ejercicio del blog, el pilar central de 300×300 de una retícula de 5 × 5 m con planta baja + 4 de viviendas, llegan al pie gtot = 777,38 kN de permanentes y 180 kN de sobrecarga de las plantas, ya reducida (0,9 por sus cuatro plantas). Por la vía simplificada del artículo, todas las variables a la vez con 1,50 (y, de la cubierta, la mayor de uso y nieve), Nk = 982,38 kN y Nd = 1356,96 kN. Con la combinación del CTE manda el uso de las plantas con la nieve acompañando: Nd = 1,35·gtot + 1,50·quso + 1,50·0,5·scub = 1338,21 kN, un 1,38 % menos (dicho al revés, la simplificada da un 1,40 % más), y Nk = 969,88 kN con la característica. La simplificada siempre queda del lado seguro, porque cada ψ0 es menor que 1. Nk, sin mayorar, es el que se lleva a la zapata; Nd, mayorado, el que se comprueba en la sección. Con la planta baja de 3,5 m, el pilar está resuelto, de la bajada al segundo orden, en los ejemplos de hormigón; y con los 1356,96 kN de la simplificada, en el ejemplo del pilar esbelto.
En madera, «comprobar este pilar» no escribe siempre la combinación de más carga: cada una lleva el kmod de su acción más corta (CTE DB SE-M 2.2.3) y, en un pilar comprimido, manda la de más Nd/kmod. En el mismo edificio con un pilar de madera, la de solo permanentes, 1,35·gtot con kmod = 0,60, manda aunque lleve un 22 % menos de carga que la de más carga, la del uso de las plantas con la nieve, que por la nieve es de corta duración (kmod = 0,90).
Alcance: una retícula con las plantas tipo iguales, sin vuelos ni continuidad de vigas, y solo cargas gravitatorias: el viento y el sismo dan axiles y momentos que esta bajada no calcula.
preguntas frecuentes
lo que más se pregunta
¿cuánto vale el momento en el apoyo central de una viga continua de dos vanos?
Con los dos vanos iguales y cargados con la misma q, −q·l²/8, el mismo que el empotramiento de una empotrada y apoyada, porque por simetría el apoyo central no gira; el máximo de cada vano es entonces 9·q·l²/128, a 3l/8 del apoyo extremo. Con un solo vano cargado, el apoyo central se queda en −q·l²/16 y el vano cargado sube a 49·q·l²/512. En general, con la ecuación de los tres momentos, mb = −(q1 + q2)·l²/16. Por eso se alterna la sobrecarga: el apoyo central se dimensiona con los dos vanos cargados y cada vano, con la sobrecarga solo en él.
¿qué es la alternancia de sobrecargas y cuándo hay que hacerla?
Es poner las cargas variables solo en los vanos donde aumentan el esfuerzo que se comprueba: en una continua, en vanos alternos para el momento de los vanos y en los dos vanos junto a un apoyo para su momento negativo. Las permanentes van siempre en todos los vanos y con el mismo coeficiente, porque el CTE (DB SE 4.2.2) las considera globalmente. El Código Estructural pide para el hormigón las hipótesis de carga que den las condiciones críticas en cada sección (anejo 19, 5.1.3), y el CTE DB SE-AE (3.1.1(7)) dice que sus sobrecargas de uso ya incluyen el efecto de la alternancia, salvo en vuelos y zonas de aglomeración. En una continua de dos vanos con un vano cargado, su momento de vano sube un 36 %. La calculadora alterna siempre, del lado seguro.
¿cuál es la flecha máxima de una viga biapoyada?
Con carga repartida, 5·q·l⁴/(384·e·i), en el centro; con una puntual en el centro, p·l³/(48·e·i). En un voladizo, q·l⁴/(8·e·i) con carga repartida, en el extremo libre; en una biempotrada, q·l⁴/(384·e·i). Con la flecha se comprueba el estado límite de servicio: el CTE DB SE 4.3.3.1 la limita, como fracción de la luz, a l/500, l/400 o l/300 según los tabiques (integridad), a l/350 con las variables (confort) y a l/300 con la casi permanente (apariencia). La calculadora la integra con la ley de cada carga y la comprueba en acero y madera; en hormigón, con la esbeltez l/d.
¿cómo se dibuja la ley de momentos de una viga hiperestática?
Por superposición: se dibuja la recta que une los momentos de los apoyos, la línea de cierre, y de ella se cuelga la ley de la misma viga biapoyada, la isostática. En una biempotrada con carga repartida, la línea de cierre está a −q·l²/12 y la parábola de q·l²/8 que cuelga de ella deja q·l²/24 en el centro; en una continua de dos vanos, la línea de cierre se quiebra en el apoyo central. Con el momento positivo hacia abajo, del lado que tracciona, el dibujo dice dónde va la armadura.
¿qué es el estado límite último (elu)?
Es la situación en la que una estructura o una de sus piezas agota su capacidad: rompe por resistencia, pandea o pierde el equilibrio. Se comprueba con los esfuerzos mayorados (cargas por coeficientes de 1,35 y 1,50) frente a las resistencias de los materiales divididas por sus coeficientes parciales. El estado límite de servicio (els), en cambio, revisa flechas, fisuras y vibraciones con las cargas sin mayorar.
¿qué normativa usa la herramienta?
Hormigón armado: Código Estructural (Real Decreto 470/2021), que sustituyó a la EHE-08 en 2021 y sigue el Eurocódigo 2. Acero: CTE DB SE-A y el anejo 22 del Código Estructural, ambos basados en el Eurocódigo 3. Madera: CTE DB SE-M y Eurocódigo 5, con las clases resistentes de UNE-EN 338 y UNE-EN 14080.
¿cuál es la flecha admisible según el cte?
La del CTE DB SE 4.3.3.1, como flecha relativa (la flecha entre la luz) y con las cargas sin mayorar. Para la integridad de los tabiques, la flecha activa, la que se produce después de construirlos con la combinación característica, no pasa de L/500 con tabiques frágiles (de gran formato, rasillones o placas) o pavimentos rígidos sin juntas, de L/400 con tabiques ordinarios o pavimentos rígidos con juntas y de L/300 en el resto. Para el confort, la de las acciones variables no pasa de L/350; y para la apariencia, la de la combinación casi permanente no pasa de L/300. En un voladizo, la luz es el doble del vuelo. La calculadora las comprueba en acero y en madera, con la fluencia de la madera, cuando los esfuerzos salen de la viga del panel de cargas; en hormigón, con la esbeltez L/d del Código Estructural (anejo 19, 7.4.2), sin calcular la flecha.
¿cómo se combinan las cargas según el cte?
En estado límite último (CTE DB SE 4.2.2, ecuación 4.3) actúan a la vez todas las cargas permanentes por 1,35, una variable dominante por 1,50 y las demás por 1,50·ψ0, y cada variable tiene que ser la dominante en una combinación distinta. Con sobrecarga de uso de vivienda y nieve por debajo de 1000 m salen 1,35·G + 1,50·Q + 1,50·0,5·S y 1,35·G + 1,50·S + 1,50·0,7·Q; también cuentan las que llevan menos variables y la de solo permanentes, 1,35·G. En servicio (4.3.2) las cargas van sin mayorar, con las combinaciones característica, frecuente y casi permanente. La herramienta las calcula todas desde el panel «¿no tienes los esfuerzos? sácalos de las cargas».
¿qué son los coeficientes ψ?
Son los coeficientes de simultaneidad de la tabla 4.2 del CTE DB SE: reducen una acción variable cuando acompaña a otra, porque es poco probable que las dos lleguen a la vez a su valor máximo. ψ0 es el de combinación (el que se usa en estado límite último con las variables que no son la dominante), ψ1 el frecuente y ψ2 el casi permanente, que se usan en servicio. En vivienda (categoría A) son 0,7, 0,5 y 0,3; en la nieve por debajo de 1000 m, 0,5, 0,2 y 0; en una cubierta solo para conservación, 0.
¿qué sobrecarga de uso tiene una vivienda?
2 kN/m² (categoría A1 de la tabla 3.1 del CTE DB SE-AE), más 1 kN/m² de tabiquería, que es carga permanente (apartado 2.1). Los trasteros llevan 3 kN/m², las zonas de acceso público de 3 a 5 kN/m², los comercios 5 kN/m² y una cubierta solo para conservación, 1 kN/m², que no se combina con la nieve. Por metro de viga, cada carga de superficie se multiplica por el ancho tributario.
¿por qué en una viga de madera hay que comprobar cada combinación?
Porque la resistencia de la madera depende de lo que dura la carga: cada combinación lleva el kmod de su acción de menor duración (CTE DB SE-M 2.2.3), 0,60 con solo cargas permanentes y 0,80 con sobrecarga de uso, en clase de servicio 1. La combinación de solo permanentes, 1,35·G, tiene menos carga pero también menos resistencia, y en flexión manda sobre 1,35·G + 1,50·Q cuando G supera unas 3,3 veces a Q: en cubiertas pesadas, por ejemplo. Mirar solo la combinación de más carga puede dar «cumple» a una viga que no cumple. La herramienta las comprueba todas y da, de cada comprobación, la peor.
¿por qué el momento de una viga biempotrada es qL²/12?
Porque los empotramientos impiden el giro de los extremos y aparece en ellos un momento negativo, −q·L²/12, que hace de línea de cierre: la ley de la biapoyada, q·L²/8, cuelga de ella, y en el centro queda q·L²/8 − q·L²/12 = q·L²/24. El momento mayor es el del apoyo, el doble que el del vano, y en hormigón tracciona la cara superior: hay que comprobar las dos secciones, que es lo que hace la herramienta con la viga de las cargas.
¿cómo se calcula el área tributaria de un pilar?
Con la mitad de cada vano que llega a él: Atrib = (Lx1 + Lx2)/2·(Ly1 + Ly2)/2, la superficie que queda dentro de las líneas medias entre el pilar y sus vecinos. En una retícula de 5 × 5 m, un pilar central lleva 25 m²; uno de fachada, 12,5 m², porque fuera no hay vano, pero carga también el peso de la fachada; y uno de esquina, 6,25 m². El área por las cargas por m² de cada planta, más las vigas y el tramo de pilar, es lo que baja en cada planta, y el pilar las lleva todas: el central del ejercicio de bajada de cargas del blog, con planta baja + 4 de viviendas, llega al pie con Nd = 1338,21 kN con las combinaciones del CTE (1356,96 kN por la vía simplificada). El panel «¿de dónde sale nd?» lo calcula planta a planta y «comprobar este pilar» lo escribe en la calculadora.
¿se puede reducir la sobrecarga de uso de un pilar?
Sí: el CTE DB SE-AE (3.1.2 y tabla 3.2) deja multiplicar la suma de las sobrecargas de un mismo uso que gravitan sobre un pilar por 0,9 si tiene encima 3 o 4 plantas de ese uso y por 0,8 si tiene 5 o más, pero solo en las categorías A, B, C y D (viviendas, oficinas, zonas de acceso público y comercios): un aparcamiento o una cubierta no se reducen, y la cubierta, que es otro uso, no cuenta como planta. La reducción por superficie tributaria de la misma tabla es la de las vigas; en un pilar solo se suma a la de plantas si las de encima son del mismo uso y de usuarios distintos, y se puede usar sola con 1 o 2 plantas. La norma dice «puede»: no reducir queda del lado seguro.
¿y si mi estructura es un pórtico o una viga continua de más vanos?
El panel de la viga resuelve un vano (biapoyado, en voladizo, biempotrado o empotrado y apoyado) o una viga continua de dos vanos iguales, con la alternancia de la sobrecarga, con carga repartida y una puntual. Una continua de tres o más vanos, con luces distintas, o un pórtico necesitan un programa de cálculo de estructuras, como Ftool o edubeam: calcula allí los esfuerzos y escríbelos en la herramienta para comprobar la sección.
¿sustituye a un programa como cype o tricalc?
No. Es una herramienta didáctica para entender y comprobar secciones aisladas en estado límite último. No calcula esfuerzos, ni estructuras completas, ni uniones, ni cimentaciones, ni estados límite de servicio. Para un proyecto real hace falta un programa de cálculo y la firma de un técnico competente.
¿puedo ver el cálculo hecho a mano, con mis números?
Sí. Debajo de cada comprobación, «desarrollo» despliega el cálculo como se escribe en un examen: la fórmula, la misma fórmula con tus números sustituidos (en mm y N; los 10³ y 10⁶ pasan a kN y kN·m) y el resultado, con el artículo de la norma. Acaba en el mismo porcentaje que da el veredicto, porque sale de los mismos valores, y cada símbolo lleva su definición del glosario. El informe en html o pdf lo incluye entero y el excel lo trae en la hoja «desarrollo». Es un desarrollo didáctico para repasar y contrastar tu cálculo, no una memoria de cálculo firmable.
¿puedo practicar como en un examen, sin ver la solución?
Sí. El botón «practicar», junto a «copiar enlace», esconde el veredicto, la lista de comprobaciones y los gráficos y deja en blanco el desarrollo de cada comprobación: escribes cada resultado (fcd, x, Mu, χ, kmod…), o la cuenta entera, y se corrige con un margen del 1 % frente al mismo número que da el veredicto; si fallas, ves la línea con los números sustituidos para encontrar el error. Al final respondes en qué dominio rompe la sección (en acero, qué clase tiene; en madera, qué kmod le toca), qué comprobación manda, cuánto se aprovecha (vale con ±10 puntos) y si cumple, y al corregir se enseña todo, con el enlace al apartado de la guía que lo explica. «Ejercicio nuevo» genera otro con datos de proyecto, y su número va en el enlace: un profesor puede repartir el mismo ejercicio a toda la clase. La racha de aciertos solo se guarda en tu navegador.
¿es gratis? ¿se guardan mis datos?
Es gratuita y sin registro. Todos los cálculos se hacen en tu navegador y no se envían a ningún servidor. Si quieres guardar o compartir un cálculo, el botón «copiar enlace» mete los datos en la propia dirección de la página, y puedes descargar el informe en html, pdf o excel.
aprende más
estructuras en miradapropia
Antes de comprobar una sección hacen falta sus esfuerzos. Estos artículos y vídeos explican de dónde salen, con ejercicios resueltos y edificios reales.
Situación de agotamiento: rotura, pandeo o pérdida de equilibrio. Se comprueba con esfuerzos mayorados.
aprovechamiento
Cociente entre lo que pide el cálculo y lo que resiste la pieza, en tanto por ciento. Cumple si no pasa del 100 %; en las ecuaciones combinadas es la suma de sus términos.
nd · md · vd · esfuerzos de cálculo
Axil, momentos y cortante mayorados con los que se comprueba la pieza (en acero se escriben ned, my,ed, mz,ed y ved). rd es la reacción del apoyo de una viga de madera.
fck · fyk · fy · resistencias características
Las del material, que solo un 5 % de las probetas no alcanza: fck del hormigón, fyk del acero de armar, fy del perfil de acero y fm,k, ft,0,k, fc,0,k, fv,k y fc,90,k de la madera (flexión, tracción, compresión, cortante y compresión perpendicular).
γc · γs · γM · coeficientes parciales
Dividen la resistencia característica para obtener la de cálculo: 1,5 el hormigón y 1,15 el acero de armar, 1,05 el acero estructural (γM0 en la sección, γM1 con pandeo o vuelco) y 1,30 la madera maciza o 1,25 la laminada.
e · g · módulos de elasticidad
Rigidez del material: es = 200 000 N/mm² el acero de armar, e = 210 000 y g = 81 000 N/mm² el acero estructural; en madera, e0,mean y el valor característico bajo e0,05, y sus análogos a cortante gmean y g0,05.
b · h · a · dimensiones de la sección
Ancho, canto y área de la sección (ac en hormigón). En la herramienta se trabaja en mm y N: los 10³ y 10⁶ de las fórmulas pasan a kN y kN·m.
w · módulo resistente
Relaciona momento y tensión, σ = m/w: b·h²/6 en un rectángulo. En acero se usa el plástico wpl si la sección es de clase 1 o 2 y el elástico wel si es de clase 3, en los dos ejes; wred es el plástico reducido por un cortante grande. En un UPN, wel,z = iz/(b − ys): la fibra más alejada del eje z es la punta de las alas.
i · radio de giro
Raíz de la inercia entre el área. Mide lo esbelta que es la pieza al pandear (λ = lk/i); en un rectángulo, h/√12 y b/√12. En un pilar de hormigón, i es el de la sección sin fisurar en el plano de flexión, h/√12, e is el de la armadura respecto al centro de la sección.
lk · longitud de pandeo
Distancia entre los puntos de inflexión de la deformada de pandeo de cada eje, la longitud de la barra biarticulada equivalente: β veces la longitud de la pieza, según sus apoyos. lb es la distancia entre arriostramientos del ala comprimida de una viga de acero y lef, la luz eficaz de vuelco de una de madera. En un pilar de hormigón se llama longitud efectiva, l0 (Código Estructural, anejo 19, 5.8.3.2).
β · l · extremos y longitud de la pieza
l es la longitud real de la pieza y β, el coeficiente de cada eje según cómo están sujetos sus extremos: 1 biarticulada, 0,7 empotrada y articulada, 0,5 biempotrada y 2 en ménsula (cte db se-a tabla 6.1; en hormigón, figura a19.5.7 del Código Estructural). lk = β·l; en un pilar de hormigón, l0 = β·l, y en uno de un pórtico arriostrado β sale de k1 y k2 (ec. 5.15).
gk · qk · sk · pk · cargas características
Las cargas sin mayorar. En la viga, por metro: gk la permanente (las de superficie por el ancho tributario, más la lineal y el peso propio), qk la sobrecarga de uso (cte db se-ae tabla 3.1), sk la nieve y pk, una carga puntual. Para la flecha activa, gk,post es la parte de gk que se pone después de la tabiquería (solado, falsos techos) y gk,ant, la que ya estaba. En la bajada de cargas de un pilar, por m² de planta: gk y qk las de cada planta y gk,cub y qk,cub las de la cubierta.
qd · pd · cargas de cálculo
Las cargas de una combinación de estado límite último (cte db se 4.2.2): 1,35 por las permanentes, 1,50 por la variable dominante y 1,50·ψ0 por las demás. De su ley de esfuerzos salen md, vd y rd.
qd,1 · qd,2 · cargas de cálculo de cada vano
En la viga continua de dos vanos, la carga de cálculo del primer vano y la del segundo cuando la sobrecarga alterna: el vano cargado lleva 1,35 por las permanentes y las variables; el otro, solo 1,35 por las permanentes. Con ellas, el momento del apoyo central es −(qd,1 + qd,2)·l²/16.
qser · pser · cargas de servicio
Las cargas de una combinación de estado límite de servicio (cte db se 4.3.2), sin mayorar: la característica, gk + qk,1 + Σ ψ0·qk,i, y la casi permanente, gk + Σ ψ2·qk,i. De ellas salen las flechas.
u · flechas
Lo que baja la viga, en mm. uinst es la instantánea de cada carga (g, q o s) y ufin, la final, con la fluencia de la madera. El cte db se 4.3.3.1 limita tres: la activa uact, la que se produce después de construir los tabiques (integridad, l/500 a l/300); la de las acciones variables uconf (confort, l/350), y la de la combinación casi permanente ucp (apariencia, l/300). En un voladizo, la luz es el doble del vuelo.
iy · inercia del eje fuerte
Momento de inercia de la sección respecto al eje de flexión de una viga: b·h³/12 en un rectángulo; en un perfil, el de su tabla (en el desarrollo, en mm⁴). Con el módulo de elasticidad da la rigidez e·i, de la que depende la flecha: doblar el canto la divide por ocho.
ψ0 · ψ1 · ψ2 · coeficientes de simultaneidad
Reducen una acción variable cuando acompaña a otra (cte db se tabla 4.2): ψ0 el de combinación, ψ1 el frecuente y ψ2 el casi permanente. En vivienda, 0,7, 0,5 y 0,3.
ancho tributario
La franja de forjado que carga en una viga: en un forjado continuo, la mitad de su luz a cada lado. Multiplica las cargas de superficie (kN/m²) para pasarlas a cargas por metro de viga (kN/m).
atrib · área tributaria de un pilar
La superficie de forjado cuyo peso baja por un pilar: la mitad de cada vano que llega a él, atrib = (lx1 + lx2)/2·(ly1 + ly2)/2, con lx1 y lx2 los vanos a un lado y a otro en x, y ly1 y ly2 en y. En un pilar de fachada falta el vano de fuera; en uno de esquina, dos. Es el reparto por mitades, sin la continuidad de las vigas, que carga algo más el primer pilar interior.
gfor · gsol · gtab · gins · permanentes de una planta
Lo que pesa cada m² de planta, en kN/m² (cte db se-ae 2.1 y anejo c): el forjado (tabla c.5, 3 kN/m² uno unidireccional de hasta 5 m y menos de 28 cm), el solado (tablas c.3 y c.5), la tabiquería (1 kN/m² de planta en viviendas, 2.1(3)) y el falso techo con las instalaciones, que es una decisión de proyecto.
qviga · pfach · vigas y fachada en la bajada
Una viga plana o de canto es maciza y el forjado ya contaba su peso en el ancho de la viga: pesa de más qviga = (hv·25 − gfor)·bv por metro, con su canto hv y su ancho bv, y pvigas es lo que pesa la media luz de cada viga que llega al pilar. gfach es el peso de la fachada por metro (7 kN/m una hoja exterior con tabique interior de menos de 25 cm, tabla c.5) y pfach, el de la media luz de cada vano de borde: solo en los pilares de fachada y de esquina.
gpil · peso propio del pilar
Lo que pesa el pilar por metro, en kN/m, con la sección de la calculadora: b·h·25 kN/m³ el hormigón armado, el área del perfil por 78,5 kN/m³ el acero y ρmean·g·b·h la madera, con su densidad media ρmean (cte db se-ae 2.1(2) y tabla c.1). hp es la altura de planta y hpb, la de la planta baja: cada planta lleva su tramo de pilar, y el de planta baja llega al pie.
gtot · quso · nk · lo que baja por el pilar
En kN: gcub la permanente de la cubierta y gplanta la de cada una de las nplantas plantas tipo; qplanta la sobrecarga de uso de una planta, qcub la de la cubierta y scub su nieve. En el pie, gtot suma todas las permanentes y quso las sobrecargas de las plantas, reducidas. nk es el axil característico, sin mayorar (cte db se 4.3.2), el que se lleva a la zapata; nd, el de cálculo, mayorado (4.2.2), el que se comprueba en la sección.
α · reducción de sobrecargas
El coeficiente por el que puede multiplicarse la suma de las sobrecargas de un mismo uso que gravitan sobre un pilar (cte db se-ae 3.1.2 y tabla 3.2), solo en las categorías a, b, c y d: αn, por el número de plantas de ese uso que tiene encima (1 o 2, 1; 3 o 4, 0,9; 5 o más, 0,8), y αa, por su superficie tributaria (16 m², 1; 25, 0,9; 50, 0,8; 100, 0,7), a la vez solo si las plantas son de usuarios distintos. La cubierta es otro uso y no se reduce. La norma dice «puede»: también se puede no reducir.
línea de cierre
En una viga empotrada, la recta que une los momentos de sus extremos. La ley de momentos es la de la misma viga biapoyada colgada de ella: m(x) = m0(x) + ma·(1 − x/l) + mb·x/l.
hormigón armado
fcd · fyd
Resistencias de cálculo del hormigón y del acero: la característica dividida por su coeficiente parcial (1,5 y 1,15).
αcc
Coeficiente que tiene en cuenta el cansancio del hormigón bajo cargas de larga duración: fcd = αcc·fck/γc. El ec2 lo deja entre 0,8 y 1 y el Código Estructural toma 1, el valor por defecto de la herramienta.
dominio de deformación
Familia de planos de rotura de una sección de hormigón armado según la posición de la fibra neutra. Hay seis: 1, 2, 3, 4, 4a y 5.
pivote
Punto alrededor del cual giran los planos de rotura de un dominio: A (acero al 10 ‰), B (hormigón a 3,5 ‰) y C (2 ‰ a 3h/7, la profundidad yc), con un hormigón de hasta 50 N/mm².
fibra neutra · x
Profundidad, desde la fibra más comprimida, de la línea de deformación nula de la sección.
xlím
Profundidad de la fibra neutra que separa los dominios 3 y 4, εcu/(εcu + εyd)·d: con x menor, el acero de tracción plastifica antes de que rompa el hormigón.
d · d1 · d2 · canto útil
d = h − d1 es la distancia de la fibra más comprimida a la armadura de tracción; d1 y d2, las del eje de cada armadura a su cara.
as1 · as2 · armaduras
Área de las barras de la cara inferior (1) y de la superior (2): n·π·ø²/4. Con momento negativo la sección se estudia girada y as1 pasa a ser la armadura superior, la traccionada.
εc0 · εcu · deformaciones del hormigón
Acortamientos del diagrama parábola-rectángulo: el del final de la parábola (2 ‰) y el último (3,5 ‰) con fck ≤ 50 N/mm²; en el ec2 se llaman εc2 y εcu2. εc es el de la fibra más comprimida de un plano de rotura.
εyd · εs · deformaciones del acero
εyd = fyd/es es la deformación a la que el acero de armar plastifica (2,17 ‰ en el B 500 S). εs1 y εs2 son las de las armaduras de cada cara, negativas en tracción.
σs · tensión del acero
Tensión de una armadura: es·εs mientras es elástica y fyd cuando plastifica, con la rama horizontal del diagrama de cálculo.
uc · us · resultantes
Fuerza del bloque comprimido de hormigón y de cada armadura, positivas en compresión. yG es la profundidad, desde la fibra más comprimida, de la resultante del hormigón.
nu · mu · esfuerzos últimos
Lo que resiste la sección en un plano de rotura: nu = uc + us1 + us2 y su momento respecto a la mitad del canto. nu,máx y nu,mín son la compresión y la tracción máximas.
e0 · excentricidad mínima
h/30 y al menos 20 mm (ec2 6.1(4)): todo axil de compresión se comprueba como mínimo con el momento nd·e0.
fctm · resistencia a tracción
Resistencia media a tracción del hormigón (ec2 tabla 3.1, 0,30·fck2/3 hasta fck = 50) y la de flexotracción fctm,fl, algo mayor en cantos pequeños. Fija la armadura mínima de una viga.
as,mín · as,máx · cuantías
La armadura que pide la norma aunque la sección resista con menos: en vigas (w/z)·fctm,fl/fyd en la cara traccionada, con z = 0,8·h; en pilares 0,05·nd/fyc,d en cada cara y barras de 12 mm o más (ømín). Como máximo, 0,04·ac.
s · smín · separación entre barras
Hueco libre entre dos barras de una capa (s) o entre la capa inferior y la superior (sv). Tiene que dejar pasar el árido y el vibrador: al menos el diámetro de la barra, dg + 5 mm (dg, el tamaño máximo del árido) y 20 mm (ec2 8.2(2)).
z · brazo mecánico
Distancia entre la resultante de las compresiones y la de las tracciones de la sección. A mano se aproxima: 0,8·h en la cuantía mínima de las vigas (Código Estructural, anejo 19, 9.2.1.1) y 0,9·d en el cortante (6.2.3(1)), donde es el canto de la celosía de bielas y estribos.
vrd,c · vrd,s · vrd,máx · resistencias a cortante
vrd,c es lo que resiste la pieza sin estribos (el hormigón comprimido, el engranaje de los áridos en la fisura y el efecto pasador de la armadura); vrd,s, lo que dan los estribos, que cosen la fisura inclinada; vrd,máx, lo que aguantan las bielas de hormigón antes de aplastarse (anejo 19, 6.2). Con estribos no se suman: vrd = vrd,s (en la EHE-08, vcu + vsu); si vd ≤ vrd,c no hace falta armadura de cálculo, así que vrd = máx(vrd,c; vrd,s).
crd,c · k · ρl · cortante sin estribos
vrd,c = [crd,c·k·(100·ρl·fck)1/3 + 0,15·σcp]·b·d ≥ (vmín + 0,15·σcp)·b·d (6.2.2(1)): crd,c = 0,18/γc; k = 1 + √(200/d) ≤ 2, el efecto de tamaño (una pieza de más canto resiste menos por unidad de área); ρl ≤ 0,02, la cuantía de la armadura de tracción; σcp = nd/ac < 0,2·fcd, la compresión media del axil, que ayuda; y vmín = 0,035·k3/2·fck1/2, el suelo.
asw · sw · estribos
asw = nw·π·øw²/4 es el área de un estribo con todas sus ramas verticales (nw: 2 en un cerco) y sw, la separación entre estribos a lo largo de la pieza (la s de la norma). fywd = fywk/γs es su resistencia de cálculo: el Código Estructural no la limita en cortante.
θ · ν1 · bielas
θ es el ángulo de las bielas de hormigón comprimido con el eje de la pieza, con 0,5 ≤ cotθ ≤ 2 (anejo 19, 6.2.3(2)). ν1 = 0,6·(1 − fck/250) reduce la resistencia del hormigón fisurado por el cortante (ν sin estribos, 6.2.2(6)) y αcw = 1 en una estructura sin pretensar: vrd,máx = αcw·b·z·ν1·fcd/(cotθ + tanθ), la mayor con cotθ = 1.
ρw · sl,máx · disposición de los estribos
ρw = asw/(sw·b) es la cuantía de estribos: en vigas, al menos ρw,mín = 0,08·√fck/fyk aunque el cálculo no los pida (9.2.2(5) y 6.2.1(4)), como mucho cada sl,máx = 0,75·d (y cada 15 diámetros de las barras comprimidas que cuentan, 9.2.1.2(3)) y con sus ramas a no más de st,máx = 0,75·d ≤ 600 mm (9.2.2(6) y (8)). En pilares, los cercos van como mucho cada scl,máx = mín(15·ømín; 300 mm; la menor dimensión) y son de øw,mín = máx(6; ømáx/4) o más (9.5.3).
decalaje · al
Con fisuras inclinadas, la armadura de tracción lleva más fuerza de la que dice la ley de momentos en cada sección: la celosía le añade ΔFtd = 0,5·VEd·cotθ (6.2.3(7)). Se cubre prolongándola al = z·cotθ/2 más allá de donde la pide la flexión (9.2.1.3(2)); al = d en una pieza sin estribos.
λ · λlim · esbeltez de un pilar
λ = l0/i. Si no pasa de la esbeltez límite λlim = 20·aφ·bω·cm/√n (Código Estructural, anejo 19, 5.8.3.1), el pilar es corto y los efectos de segundo orden se desprecian. aφ = 1/(1 + 0,2·φef) recoge la fluencia (0,7 si no se conoce), bω = √(1 + 2ω) la armadura y cm = 1,7 − rm la ley de momentos: son la A, la B y la C del Eurocódigo 2.
n · ω · axil reducido y cuantía mecánica
n = nd/(ac·fcd) compara el axil con lo que resiste el hormigón solo (es el ν que decide si la pieza es viga o pilar) y ω = as·fyd/(ac·fcd) lo que aporta el acero: n y ω son los ejes del ábaco de armado simétrico (el ν de los ábacos es n). Para dimensionar una viga, ω = as1·fyd/(b·d·fcd), con el canto útil, como μ. nbal = 0,4 es el axil reducido con el que la sección da su mayor momento (5.8.8.3(3)).
μ · ms · momento reducido
El momento dividido por lo que puede dar el hormigón: μ = m/(b·d²·fcd) para dimensionar una viga, con el canto útil, y μ = m/(b·h²·fcd) en el ábaco de armado simétrico, con el canto total. Con axil, la viga se dimensiona con ms = m + nd·(d − h/2), el momento respecto a la armadura de tracción.
λb · ηb · bloque rectangular
La simplificación del diagrama parábola-rectángulo para el cálculo a mano (ec2 3.1.7(3)): una tensión uniforme ηb·fcd en una profundidad λb·x, con λb = 0,8 y ηb = 1 hasta fck = 50 N/mm² (en el ec2, λ y η). Con él, μ = ω·(1 − ω/2): ω = 1 − √(1 − 2·μ).
ξlím · μlím · límite de la flexión simple
En una viga se busca x/d ≤ ξlím = 0,448 (ec2 5.5(4) con δ = 1, el «0,45» de los apuntes) para que la rotura avise: con el bloque rectangular, μlím = 0,8·ξlím·(1 − 0,4·ξlím) = 0,294. Si μ lo pasa, hace falta armadura de compresión. Con xlím/d, el límite de los dominios 3 y 4 (0,617 con B 500 S), saldría 0,372: deja el acero justo plastificado, pero la rotura avisa menos.
as1,rect · as1,pr · armadura necesaria
La armadura que pide el cálculo: as1,rect y as2,rect, las de tracción y de compresión con el bloque rectangular, a mano, y as1,pr, la de tracción con el diagrama parábola-rectángulo, la que lleva la comprobación justo al 100 %, buscada numéricamente (un 1 % más, o menos). Se pone la mayor de ella y la cuantía mínima.
φef · fluencia del hormigón
El hormigón cargado mucho tiempo se sigue deformando. φef = φ(∞, t0)·m0eqp/m0ed (5.8.4): el coeficiente de fluencia a tiempo infinito (φ∞, entre 2 y 3 en interior) por rqp, el momento casi permanente entre el de cálculo. Aumenta la curvatura con kφ = 1 + βφ·φef ≥ 1, con βφ = 0,35 + fck/200 − λ/150.
m02 · m01 · med · momentos de un pilar
m02 y m01 son los momentos de primer orden de los dos extremos, el mayor y el menor, con la imperfección nd·ei; rm = m01/m02 es positivo si traccionan la misma cara, y rm,d es la misma relación con tus momentos, sin la imperfección (la que escribes): con la imperfección, rm se acerca a 1 cuando tus momentos son pequeños. m0e = 0,6·m02 + 0,4·m01 ≥ 0,4·m02 es el equivalente en el centro del pilar (5.8.8.2(2)) y med, el momento con el que se comprueba la sección: el mayor de m02, m0e + m2, m01 + 0,5·m2 y nd·e0.
ei · e2 · segundo orden
ei = l0/400 es la imperfección: el pilar nunca está recto del todo (5.2(7) y 5.2(9)). e2 = (1/r)·l0²/c es la flecha que coge el pilar al flectar, que aumenta el momento en m2 = nd·e2, el de segundo orden (5.8.8.2(3)); c vale 10 con la curvatura senoidal y 8 si el momento de primer orden es constante.
1/r · curvatura nominal
1/r = kr·kφ·1/r0 (5.8.8.3), en 1/m. 1/r0 = εyd/(0,45·d) es la de la sección con las dos armaduras en cedencia y kr = (1 + ω − n)/(1 + ω − nbal) ≤ 1 la reduce cuando el axil es grande. Con recubrimientos distintos arriba y abajo, el canto es dr = h/2 + is (5.8.8.3(2)).
k1 · k2 · flexibilidad de los nudos
En un pilar de un pórtico arriostrado, k = (θ/m)·(e·i/l) en cada extremo (5.8.3.2(3)): θ/m es lo que giran las vigas del nudo por unidad de momento y e·i/l la rigidez del pilar. 0 es un empotramiento perfecto y ∞ una articulación; el anejo recomienda no bajar de 0,1.
l/d · (l/d)lím · esbeltez de una viga
La luz entre el canto útil. Si no pasa de (l/d)lím, el Código Estructural (anejo 19, 7.4.2) da la flecha por buena sin calcularla. (l/d)bás sale de las ecuaciones 7.16.a y 7.16.b con k, el coeficiente del sistema estructural de la tabla A19.7.4: 1 en una viga biapoyada, 1,3 empotrada y apoyada (el vano extremo de una viga continua), 1,5 biempotrada (un vano interior) y 0,4 en un voladizo. (l/d)lím la corrige por la tensión del acero y, con más de 7 m de luz y tabiques que se pueden dañar, por 7/l.
ρreq · ρ0 · 310/σs · cuantías de la esbeltez
ρreq = as,req/(b·d) y ρ′req son las cuantías de tracción y de compresión que pide el cálculo en el centro del vano (en un voladizo, en el arranque): las del modo dimensionar, no las colocadas. ρ0 = 10⁻³·√fck es la de referencia (en el desarrollo, las tres en tanto por mil). Con poca cuantía la viga se fisura poco y admite más esbeltez. 310/σs = 500/(fyk·as,req/as,prov) (7.17) premia la armadura colocada de más, que trabaja a menos tensión en servicio; la herramienta no lo deja pasar de 1,5.
acero
clase de sección
Clasificación de 1 a 4 de un perfil de acero según la esbeltez de sus paredes. Decide si se usa el módulo plástico, el elástico o una sección eficaz. Los límites se escalan con ε = √(235/fy).
tw · tf · r · el perfil
Espesores del alma y del ala, radio del acuerdo entre ellos y hs = h − tf, la distancia entre los centros de las alas. En un UPN, ys es la distancia del dorso del alma al centro de gravedad y, en el de pared delgada (con las propiedades editadas), bs = b − tw/2 es el ancho del ala hasta el eje del alma. fy baja con el mayor espesor, tmáx (cte db se-a tabla 4.1).
npl,rd · mc,rd · vpl,rd · resistencias del perfil
Lo que resiste la sección: axil plástico, momento (reducido si el cortante es grande, my,v,rd) y cortante plástico. nb,rd y mb,rd son las de la pieza con pandeo y con vuelco, con γM1; nb,rd,T, la del pandeo por flexotorsión de un UPN.
av · ρ · cortante
Área que resiste el cortante (en una i, el alma y un poco de las alas) y reducción ρ del momento resistente cuando ved pasa de la mitad de vpl,rd (ec3 6.2.8).
esbeltez reducida · λ̄
Cociente entre la esbeltez geométrica Lk/i de la pieza y la esbeltez de referencia λ1 = 93,9·ε, que es lo mismo que √(a·fy/ncr) con la carga crítica de euler. La de la flexotorsión de un UPN, λ̄T, se calcula así, con ncr,TF (ec3 6.3.1.4(2)).
χ · coeficiente de pandeo
Fracción de la resistencia plástica que queda tras el pandeo (ec3). Sale de las curvas europeas a, b, c y d. χT es el de la flexotorsión, con la curva del eje z.
α · Φ · curva de pandeo
Factor de imperfección de cada curva europea (a 0,21, b 0,34, c 0,49 y d 0,76) y factor intermedio Φ = 0,5·[1 + α·(λ̄ − 0,2) + λ̄²], del que sale χ = 1/(Φ + √(Φ² − λ̄²)).
iz · it · iw · inercias
Momento de inercia respecto al eje débil, inercia a torsión e inercia al alabeo: las rigideces que frenan el vuelco lateral y, en un UPN, el pandeo por flexotorsión (en el desarrollo, en mm⁴ y mm⁶).
ncr,TF · flexotorsión
Un UPN solo es simétrico respecto al eje y, y su centro de esfuerzos cortantes cae por detrás del alma, a y0 del centro de gravedad. Si pandea en el plano del alma (según y), además gira: es el pandeo por flexotorsión (ec3 6.3.1.4), con una carga crítica ncr,TF menor que la de euler, ncr,y, y que la de torsión, ncr,T = (g·it + π²·e·iw/lT²)/i0², con i0² = iy² + iz² + y0² y el acoplamiento βTF = 1 − (y0/i0)² (en 1993-1-3 6.2.3). lT es la longitud de pandeo por torsión, entre los apoyos que impiden el giro. Según z no se acopla: la pieza se mueve a lo largo del eje de simetría, donde está el centro de esfuerzos cortantes.
mcr · c1
Momento crítico elástico de vuelco lateral y factor que recoge la forma de la ley de momentos.
λ̄LT · χLT · vuelco
Esbeltez a vuelco, √(w·fy/mcr), y coeficiente de vuelco que reduce el momento resistente. Por debajo de λ̄LT = 0,4 el vuelco no se tiene en cuenta.
ny · kyy · interacción
Anejo B del ec3: ny = ned/nb,rd,y y los factores k que amplifican cada momento en las ecuaciones 6.61 y 6.62. La herramienta toma cm = 1, del lado seguro. En un UPN, la 6.61 se hace con la flexotorsión, que es su pandeo según y acoplado con el giro: ny = ned/nb,rd,T.
madera
kmod
Factor de la madera que combina humedad y duración de la carga. Entre 0,50 y 1,10.
kh · factor de altura
Aumenta la resistencia a flexión y a tracción de las piezas de poco canto: (150/h)0,2 ≤ 1,3 en maciza por debajo de 150 mm y (600/h)0,1 ≤ 1,1 en laminada por debajo de 600 mm.
fm,d · fc,0,d · resistencias de cálculo
kmod·fk/γM (con kh en flexión y tracción): la característica corregida por la humedad y la duración de la carga, por el tamaño y por el coeficiente parcial.
σm,d · σc,0,d · τd · tensiones
Lo que producen los esfuerzos: σm = m/w, σc,0 = n/a, τ = 1,5·v/(bef·h) en un rectángulo y σc,90 = rd/(b·l) en el apoyo.
kcr
Factor de fendas de la madera a cortante: el ancho eficaz bef es 0,67 veces el real.
kc,90 · compresión perpendicular
Factor que tiene en cuenta cómo se reparte la carga en el apoyo (cte db se-m 6.1.5 = ec5 6.1.5): 1,5 en maciza y 1,75 en laminada sobre un apoyo aislado, 1,25 y 1,5 en un durmiente, y 1,0 en general. l es la longitud de apoyo.
λrel · βc · pandeo de la madera
Esbeltez relativa, λ/π·√(fc,0,k/e0,05): por debajo de 0,3 no hay pandeo. βc = 0,2 en maciza y 0,1 en laminada recoge la imperfección; ky y kz son los factores intermedios de kc.
kc · kcrit
Reducciones de la madera por pandeo de pilares y por vuelco lateral de vigas (ec5 6.3).
βv · luz eficaz de vuelco
Coeficiente de la tabla 6.2 del cte db se-m: lef = βv·l según los apoyos y la carga de la viga (0,95 en una biapoyada con carga repartida), + 2h si la carga actúa en el borde comprimido y − 0,5h si actúa en el traccionado.
σm,crit · λrel,m · vuelco de la madera
Tensión de flexión a la que la viga vuelca y esbeltez relativa a vuelco, √(fm,k/σm,crit): hasta 0,75 no hay vuelco (kcrit = 1).
km
Factor de la flexión esviada que recoge el reparto de tensiones y la falta de homogeneidad del material en la sección: 0,7 en una sección rectangular de madera maciza o laminada (ec5 6.1.6(2)).
kdef · fluencia de la madera
Factor de la deformación diferida (cte db se-m tabla 7.1 = ec5 tabla 3.2): 0,60 en clase de servicio 1, 0,80 en la 2 y 2,00 en la 3, en maciza y laminada. Con el tiempo, la flecha de una carga crece ψ2·kdef veces la instantánea (ψ2 = 1 en las permanentes): la de una vigueta de interior, un 60 % más.
κ · factor de cortante
Reparte la deformación por cortante en la sección: 5/6 en un rectángulo. La flecha por cortante es ∫v·v̄/(κ·g·a)·dx; en la madera, que tiene un módulo de cortante dieciséis veces menor que el de elasticidad, añade un 5 a 10 % a la de flexión en una vigueta y más en piezas cortas y de canto.
itor · módulo de torsión
La rigidez a torsión de la sección, que frena el vuelco junto con iz. En un rectángulo de lados b ≤ h, k·h·b³, con k de 0,141 en el cuadrado a 1/3 en una pieza muy delgada (cte db se-m 6.3.3.2).