comprobación elu de secciones de hormigón armado, acero y madera

de la carga al esfuerzo: combinaciones del cte, leyes de una viga y bajada de cargas de un pilar

La calculadora pide los esfuerzos de cálculo ya hechos, y es justo ahí donde más se falla: mayorar dos veces, olvidar el peso propio o aplicar q·L²/8 a un voladizo. El panel «¿no tienes los esfuerzos? sácalos de las cargas», arriba del formulario, los saca de una viga de un vano: las cargas por metro cuadrado con su ancho tributario, sus combinaciones según el CTE DB SE y la ley de momentos de cada una. Con él encendido, los esfuerzos de los tres materiales salen de la misma viga y se ven en solo lectura, con «de la viga».

1 · de la carga por metro cuadrado a la carga por metro de viga

Una viga recoge la franja de forjado que apoya en ella, su ancho tributario s: en un forjado continuo, la mitad de la luz del forjado a cada lado. Las cargas de superficie (kN/m²) por s dan cargas por metro de viga (kN/m), a las que se suman las lineales (un tabique o una fachada encima) y el peso propio de la viga, con su peso específico medio (CTE DB SE-AE 2.1 y anejo C): 25 kN/m³ el hormigón armado, 78,5 kN/m³ el acero (un IPE 300 pesa 0,42 kN/m) y la densidad media de su clase la madera. Si sumas el peso propio, no lo metas también en g_k.

La sobrecarga de uso es la de la tabla 3.1 del CTE DB SE-AE, por categorías:

Los ψ son los de la tabla 4.2 del CTE DB SE. La sobrecarga de una cubierta G1 no se combina con las demás acciones variables, ni con la nieve (nota 7 de la tabla 3.1). La tabla 3.2 deja reducir la sobrecarga de uso de un elemento horizontal según su superficie tributaria; en la viga, la herramienta no lo hace, del lado seguro. En un pilar, la bajada de cargas sí reduce por el número de plantas (apartado 8).

2 · las combinaciones del CTE

En estado límite último, situación persistente (CTE DB SE 4.2.2, ecuación 4.3), actúan a la vez todas las permanentes con γ_G = 1,35, una variable dominante con γ_Q = 1,50 y las demás con 1,50·ψ₀ (tabla 4.1), y cada variable tiene que ser la dominante en un análisis distinto:

q_d = 1,35·g_k + 1,50·q_k,1 + Σ 1,50·ψ_0,i·q_k,i

Con uso y nieve salen 1,35·g_k + 1,50·q_k + 1,50·0,5·s_k y 1,35·g_k + 1,50·s_k + 1,50·0,7·q_k. Una variable que no está es la de coeficiente 0 (favorable), así que también cuentan las combinaciones con menos variables, y la de solo las permanentes, 1,35·g_k. En hormigón y en acero manda la de más carga; en madera, no siempre (apartado 4). En servicio (4.3.2) las cargas van sin mayorar: la característica, g_k + q_k,1 + Σ ψ₀·q_k,i; la frecuente, con ψ₁ en la dominante y ψ₂ en las demás; y la casi permanente, g_k + Σ ψ₂·q_k,i. Son las de la flecha.

La viga por defecto del panel, de 3 m con 1,2 m de ancho tributario, 2 kN/m² de permanentes y vivienda, con la madera por defecto (100×220, C24): g_k = 1,2·2 + 0,09 de peso propio = 2,49 kN/m, q_k = 1,2·2 = 2,40 kN/m y q_d = 1,35·g_k + 1,50·q_k = 6,96 kN/m, que dan M_d = q_d·L²/8 = 7,83 kN·m y V_d = q_d·L/2 = 10,44 kN: los esfuerzos que la madera trae escritos por defecto.

3 · las leyes de esfuerzos

Con la carga de cálculo, la herramienta dibuja la ley de cortantes V(x) y la de momentos M(x), esta del lado que tracciona, como se enseña en España: el momento positivo, abajo, tracciona la cara inferior, y el relleno azul dice dónde va la armadura. Los cinco tipos de viga, con carga repartida q (las calcula el motor; el formulario completo, con la puntual, las reacciones y las flechas, en leyes de esfuerzos de vigas):

Con una puntual P a una distancia a (y b = L − a): P·a·b/L en la biapoyada (P·L/4 en el centro); −P·a·b²/L² y −P·a²·b/L² en los extremos de la biempotrada; −P·a·b·(L + b)/(2L²) en el empotramiento de la empotrada y apoyada (−3PL/16 en el centro). En las hiperestáticas la herramienta lo hace por superposición: M(x) = M₀(x) + M_A·(1 − x/L) + M_B·x/L. M₀ es la ley de la misma viga biapoyada y la recta de M_A a M_B, la línea de cierre: la ley isostática «cuelga» de ella, que es como se dibuja a mano. El gráfico lo enseña así, con la línea de cierre en discontinua y la isostática en rayado fino.

4 · por qué en madera hay que mirar cada combinación

La resistencia de la madera depende de lo que dura la carga: k_mod vale 0,60 con carga permanente, 0,80 con duración media (la sobrecarga de uso) y 0,90 con corta (el viento y la nieve por debajo de 1000 m), en clase de servicio 1. Cada combinación lleva el k_mod de la acción de menor duración que contiene (CTE DB SE-M 2.2.3 y tabla 2.2). Por eso la de solo permanentes, con menos carga, puede mandar: con flexión, 1,35·G/0,60 supera a (1,35·G + 1,50·Q)/0,80 cuando G > 3,3·Q, lo que pasa en las cubiertas pesadas (ajardinadas, de teja con mucho relleno). La herramienta comprueba cada combinación con su k_mod y da, de cada comprobación, la peor. Una cubierta ajardinada solo para conservación (G1) de 6 kN/m² sobre viguetas de C18 de 100×250 cada 1 m y de 3 m de luz, con 0,4 kN/m² de nieve: la de solo permanentes queda al 107 %; la de uso, con más carga y k_mod = 0,80, al 95 %, y la de nieve, al 76 %. Mirar solo la de más carga daría «cumple» (las flechas también cumplen). Está resuelta, con su tabla de combinaciones, en los ejemplos de madera, y se abre en la calculadora.

5 · hormigón, acero y madera con la misma viga

• Hormigón: en una viga con empotramientos hay dos secciones que comprobar, la del vano (m+, tracciona abajo) y la del apoyo (m−, tracciona arriba, con la sección girada), cada una con su flexión y su cuantía mínima en la cara que tracciona. En una biempotrada manda el apoyo: q·L²/12 es el doble que q·L²/24.
• Acero: M_y,Ed y V_Ed salen de la viga, y el vuelco toma l_b = L (o L/2 y L/3 con arriostramientos intermedios). El c₁ de la tabla solo vale en la biapoyada: 1,13 con carga repartida y 1,35 con la puntual centrada. Con momentos en los extremos (biempotrada, empotrada y apoyada) la herramienta pone c₁ = 1, el del momento uniforme, del lado seguro, y lo avisa; el voladizo, sin horquilla en el extremo libre, se calcula con l_b = 2·L (2·L/n con arriostramientos intermedios) y c₁ = 1.
• Madera: además de M_d y V_d, la reacción R_d del apoyo, la luz eficaz de vuelco de la tabla 6.2 del CTE DB SE-M (0,95·L con carga repartida en la biapoyada; en una empotrada, que la tabla no tiene, L, la del momento constante) y la duración de la combinación que manda.
• Flechas: en acero y en madera, con la viga encendida, la lista acaba con las tres flechas del CTE (apartado 7); en hormigón, con la esbeltez L/d del Código Estructural, que no calcula la flecha (la flecha sin calcularla). El veredicto dice «cumple elu y els» o «no cumple: flecha».

Con la viga encendida, la tarjeta «misma viga, tres materiales» busca la sección mínima de cada material para esa viga, con su propio peso: el canto de hormigón con su ancho y el armado del modo dimensionar, el perfil más ligero de la familia (y el de la otra, ipe o heb) y el canto de madera con su ancho, tipo y clase. Las dibuja a la misma escala, con su canto y su peso propio, dice lo que impide ir a menos (un canto menos, o el perfil anterior, ya no cumple) y abre cada una en su calculadora.

Carga tipo, no es un proyecto. La tabla es la de esa tarjeta con la viga por defecto del panel, de 3 a 8 m: biapoyada, con 1,2 m de ancho tributario, 2 kN/m² de permanentes más el peso propio de cada sección y 2 kN/m² de uso de vivienda (A1), tabiques ordinarios (flecha activa l/400) y lo demás de cada material por defecto (el acero, sin arriostrar; la madera, en clase de servicio 1 y apoyada en 100 mm). Cada celda da la sección mínima, su peso propio y lo que no cumple justo por debajo, y se abre en su calculadora con todos sus datos. Sirve para comparar materiales y tener un orden de magnitud: un proyecto tiene sus cargas, sus apoyos y sus arriostramientos, y se comprueba con los suyos.

6 · un canto de partida

Antes de comprobar hace falta una sección que probar. En hormigón, el botón «proponer canto» usa la regla de práctica del artículo predimensionado de estructuras: el ejercicio resuelto: una viga de canto se tantea con h ≈ L/12 y un ancho de la mitad, subidos a los 5 cm siguientes (5 m → 45 × 25 cm); una viga plana hereda el canto del forjado, L/25 a L/20 de la luz del forjado. No es una norma: es el canto con el que empezar, y después se comprueba.

7 · las flechas: el estado límite de servicio

Resistir no basta: una viga que resiste puede flechar tanto que agriete los tabiques o se note al pisar. En acero y en madera la flecha manda a menudo sobre la resistencia, y un «cumple» sin flecha empuja a secciones demasiado pequeñas. El CTE DB SE 4.3.3.1 limita la flecha relativa, la flecha entre la luz, con tres criterios, cada uno con su combinación de servicio (4.3.2), con las cargas sin mayorar:

La luz es la de la viga; en un voladizo, el doble del vuelo, porque el CTE compara dos puntos cualesquiera «tomando como luz el doble de la distancia entre ellos» (4.3.3.1(4)). La herramienta calcula la flecha integrando dos veces m/(E·I) con la ley de cada carga, la misma de los esfuerzos, y en el desarrollo da la fórmula del prontuario cuando la carga es repartida: 5·q·L⁴/(384·E·I) en la biapoyada, q·L⁴/(8·E·I) en el voladizo, q·L⁴/(384·E·I) en la biempotrada y q·L⁴/(185·E·I) en la empotrada y apoyada. En acero, E = 210 000 N/mm² e I_y del perfil, y «sugerir perfil mínimo» busca el más ligero que cumple también las flechas.

En madera hay dos cosas más. La deformación por cortante: con un módulo de cortante unas dieciséis veces menor que el de elasticidad, suma q·L²/(8·κ·G·A) a la flecha de flexión (κ = 5/6 en un rectángulo, con los valores medios E_0,mean y G_mean del CTE DB SE-M 5.1): un 8,2 % en la vigueta por defecto, y más en piezas cortas y de canto. Y la fluencia: con la carga mantenida, la madera sigue deformándose. El CTE DB SE-M (7.1) suma a la flecha instantánea ψ₂·k_def veces ella, con ψ₂ = 1 en las permanentes y k_def = 0,60 en clase de servicio 1, 0,80 en la 2 y 2,00 en la 3 (tabla 7.1):

u_fin = u_inst,g·(1 + k_def) + u_inst,q·(1 + ψ₂·k_def)

En la vigueta por defecto (100×220, C24, 3 m, vivienda), u_inst,g = 2,91 mm y u_inst,q = 2,81 mm dan u_fin = 7,97 mm: la fluencia añade un 39 %. La flecha activa resta lo instantáneo de lo que ya estaba al hacer los tabiques: u_act = 6,46 mm, el 86 % de L/400. En la calculadora, la barra de cada flecha separa lo instantáneo, liso, de la fluencia, rayada, y el gráfico de la viga dibuja la deformada de la que más pide, con la escala vertical aumentada. En acero no hay fluencia, pero la flecha manda a menudo: todos los aceros tienen el mismo E, y un perfil que resiste puede no ser bastante rígido. Está resuelto en los ejemplos de acero, con una viga IPE de forjado que resiste y no cumple la flecha activa.

Alcance: un vano, o una continua de dos vanos iguales con la alternancia de las sobrecargas (la viga continua), con carga repartida y, como mucho, una puntual. Las continuas de más vanos o de luces distintas, los pórticos (para eso, Ftool o edubeam), las cargas móviles y el viento horizontal quedan fuera. La flecha del hormigón, que depende de la fisuración y de la fluencia, tampoco se calcula: se comprueba su esbeltez L/d (Código Estructural, anejo 19, 7.4.2; en la guía del hormigón, la flecha sin calcularla).

8 · de la planta al pilar: la bajada de cargas

Un pilar no lleva su planta: lleva todas las que tiene encima. El panel «¿de dónde sale n_d? bájalo planta a planta» hace la bajada de cargas de un pilar de una retícula, de la cubierta a la zapata, con los datos del ejercicio resuelto del blog por defecto (y su vídeo), y «comprobar este pilar» escribe su axil en la calculadora, sin momentos, con la altura de la planta baja, el tramo que llega al pie, como altura del pilar: su longitud de pandeo es β·l con los extremos que tengas elegidos. Son cuatro pasos:

1. El área tributaria, la mitad de cada vano que llega al pilar: A_trib = (L_x1 + L_x2)/2·(L_y1 + L_y2)/2. En una retícula de 5 × 5 m, 25 m² un pilar central, 12,5 uno de fachada, que no tiene vano fuera, y 6,25 uno de esquina; a cambio, estos llevan la fachada de cada planta (7 kN/m una hoja exterior con tabique interior, tabla C.5 del CTE DB SE-AE). Es el reparto por mitades, sin la continuidad de las vigas: el primer pilar interior lleva algo más, y el 1,10 con el que se mayora en la práctica no es norma.
2. Lo que pesa cada planta: las permanentes por m² (forjado, solado, tabiquería y falso techo) por el área; las vigas, que en su ancho pesan más que el forjado, (h_v·25 − g_for)·b_v por metro en la media luz de cada una; y su tramo de pilar, con la sección de la calculadora. La sobrecarga de uso es la de la tabla 3.1. La cubierta, con su permanente, su uso y la nieve (1 kN/m² en una cubierta plana por debajo de 1000 m, 3.5.1).
3. La reducción de sobrecargas (CTE DB SE-AE 3.1.2 y tabla 3.2): en un pilar, la suma de las sobrecargas de un mismo uso que gravitan sobre él puede multiplicarse por 0,9 con 3 o 4 plantas de ese uso y por 0,8 con 5 o más, solo en las categorías A, B, C y D: ni un aparcamiento ni una cubierta se reducen. La de superficie (0,9 con 25 m², 0,8 con 50 y 0,7 con 100) es la de los elementos horizontales; en un pilar se puede aplicar a la vez que la de plantas solo si las de encima son del mismo uso y de usuarios distintos, y sola con 1 o 2 plantas. La norma dice «puede»: la herramienta reduce por plantas por defecto, como el blog, y deja no hacerlo.
4. Las combinaciones (CTE DB SE 4.2.2): las permanentes por 1,35, una variable dominante por 1,50 y las demás por 1,50·ψ₀. El uso de las plantas, el de la cubierta y la nieve son acciones distintas (SE-AE 3.1.1(8)). La sobrecarga de una cubierta solo para conservación (G1) no se combina con ninguna otra variable (nota 7 de la tabla 3.1): ni con la nieve ni con el uso de las plantas. La de una cubierta transitable (F) sí, con el ψ₀ del uso desde el que se accede (0,7 en una vivienda), y la nieve la acompaña con 0,5 por debajo de 1000 m (0,7 por encima).

En el ejercicio del blog, el pilar central de 300×300 de una retícula de 5 × 5 m con planta baja + 4 de viviendas, llegan al pie g_tot = 777,38 kN de permanentes y 180 kN de sobrecarga de las plantas, ya reducida (0,9 por sus cuatro plantas). Por la vía simplificada del artículo, todas las variables a la vez con 1,50 (y, de la cubierta, la mayor de uso y nieve), N_k = 982,38 kN y N_d = 1356,96 kN. Con la combinación del CTE manda el uso de las plantas con la nieve acompañando: N_d = 1,35·g_tot + 1,50·q_uso + 1,50·0,5·s_cub = 1338,21 kN, un 1,38 % menos (dicho al revés, la simplificada da un 1,40 % más), y N_k = 969,88 kN con la característica. La simplificada siempre queda del lado seguro, porque cada ψ₀ es menor que 1. N_k, sin mayorar, es el que se lleva a la zapata; N_d, mayorado, el que se comprueba en la sección. Con la planta baja de 3,5 m, el pilar está resuelto, de la bajada al segundo orden, en los ejemplos de hormigón; y con los 1356,96 kN de la simplificada, en el ejemplo del pilar esbelto.

En madera, «comprobar este pilar» no escribe siempre la combinación de más carga: cada una lleva el k_mod de su acción más corta (CTE DB SE-M 2.2.3) y, en un pilar comprimido, manda la de más N_d/k_mod. En el mismo edificio con un pilar de madera, la de solo permanentes, 1,35·g_tot con k_mod = 0,60, manda aunque lleve un 22 % menos de carga que la de más carga, la del uso de las plantas con la nieve, que por la nieve es de corta duración (k_mod = 0,90).

Alcance: una retícula con las plantas tipo iguales, sin vuelos ni continuidad de vigas, y solo cargas gravitatorias: el viento y el sismo dan axiles y momentos que esta bajada no calcula.

leyes de esfuerzos de vigas: formulario de momentos, cortantes, reacciones y flechas

Las leyes de una viga, la de cortantes V(x) y la de momentos M(x), salen del equilibrio y, en las hiperestáticas, de que los apoyos no giren o no bajen. Este formulario las da para los cinco tipos de viga del panel de cargas (biapoyada, voladizo, biempotrada, empotrada y apoyada y continua de dos vanos iguales) con una carga repartida q por metro y con una carga puntual p, en función de la luz l y, la flecha, de la rigidez e·i. No están escritas a mano: las calcula el mismo motor que dibuja las leyes y comprueba las vigas en la calculadora, con q = p = l = 1, cada vez que se publica la página.

Los momentos van con su signo, positivo si tracciona la cara inferior, y las leyes se dibujan del lado que tracciona, como se enseña en España: el relleno azul dice dónde va la armadura. En las hiperestáticas, la línea de cierre en discontinua y, colgada de ella, la ley de la misma viga biapoyada en rayado fino.

1 · carga repartida q

La posición del momento del vano se mide desde el apoyo de la izquierda, el empotramiento en la empotrada y apoyada. La flecha es la máxima de la viga, con la deformación por flexión (en madera, la herramienta suma la de cortante y la fluencia). La continua con un vano cargado tiene una reacción negativa: el apoyo del vano descargado tira hacia abajo, porque ese vano se levanta.

2 · carga puntual p

Con la puntual en otro punto, a una distancia a de la izquierda y b = l − a de la derecha, el momento bajo la carga de la biapoyada es p·a·b/l, y los de empotramiento de la biempotrada, −p·a·b²/l² y −p·a²·b/l². La calculadora la pone donde le digas y suma su ley a la de la repartida.

3 · la viga continua de dos vanos y la alternancia de sobrecargas

Una viga continua de dos vanos iguales es una vez hiperestática: el momento del apoyo central sale de la ecuación de los tres momentos (Clapeyron), con los apoyos extremos sin momento. Con carga repartida, cada vano cargado suma su q·l²/16:

m_b = −(q_d,1 + q_d,2)·l²/16

Con los dos vanos igual de cargados, m_b = −q·l²/8 y cada vano trabaja como una empotrada y apoyada: el apoyo central no gira, por simetría. Pero la sobrecarga de uso no tiene por qué estar en los dos vanos a la vez, y con un solo vano cargado el apoyo central gira hacia él, que se parece más a una biapoyada: su momento llega a 49·q·l²/512, un 36 % más que los 9·q·l²/128 de la viga cargada entera. Es la alternancia de sobrecargas: las permanentes cargan siempre los dos vanos, con el mismo 1,35 en los dos (CTE DB SE 4.2.2: favorable o desfavorable «considerada globalmente»), y las variables se ponen donde más piden. En dos vanos son tres hipótesis:

• las variables en los dos vanos: el mayor momento del apoyo central y el mayor cortante, junto a él;
• solo en el primer vano o solo en el segundo: el mayor momento de ese vano, y la mayor flecha.

La calculadora hace las tres con cada combinación del CTE, comprueba cada esfuerzo con la peor y lo dice en su desarrollo, con la carga de cada vano, q_d,1 y q_d,2. ¿Es obligatorio? El Código Estructural pide para el hormigón las hipótesis de carga que den las condiciones críticas en todas las secciones, con «la carga distribuida en damero en tramos alternos» como ejemplo (anejo 19, 5.1.3), y el Eurocódigo 1 pone la sobrecarga en la parte más desfavorable de la zona de influencia (EN 1991-1-1, 6.2.1). El CTE DB SE-AE dice, en cambio, que sus sobrecargas de uso «ya incluyen el efecto de la alternancia de carga, salvo en el caso de elementos críticos, como vuelos, o en el de zonas de aglomeración» (3.1.1(7)): en acero y madera, alternar queda del lado seguro. La herramienta alterna siempre.

Con la viga por defecto del panel como continua de dos vanos de 5 m y el perfil de acero por defecto, el apoyo central se lleva m_d = 23,16 kN·m con la sobrecarga en los dos vanos y el vano, 15,22 kN·m con la sobrecarga solo en él (13,03 kN·m con los dos vanos cargados). Ábrelo en la calculadora.

4 · de la ley a la comprobación

• Hormigón: el vano (m+, con la alternancia) y el apoyo central (m−, la sección girada: tracciona arriba), cada uno con su flexión y su cuantía mínima; el cortante, también junto al apoyo central, donde tracciona la cara superior. La flecha, por la esbeltez l/d del anejo 19 (7.4.2) con k = 1,3: los dos vanos de una continua de dos vanos son vanos extremos.
• Acero: manda el mayor momento, casi siempre el del apoyo central, y el vuelco toma l_b = l, la luz de cada vano, con c₁ = 1 (el del momento uniforme, del lado seguro: con el momento del apoyo central, la ley de cada vano no es la de la biapoyada). Junto al apoyo central el momento comprime el ala inferior, que el forjado no arriostra.
• Madera: cada combinación en cada hipótesis, con su k_mod; la reacción del apoyo central, la mayor, es la de la compresión perpendicular, y la luz eficaz de vuelco, l (la tabla 6.2 del CTE DB SE-M no tiene vigas continuas).
• Flechas, en acero y en madera: las de los tres criterios del CTE, con las variables también alternadas, cada una con la luz de su vano.

De la carga a la comprobación, resueltos con la viga del panel: una viga IPE de un forjado de viviendas que resiste pero no cumple la flecha activa con tabiques frágiles, y una cubierta ajardinada sobre viguetas de madera en la que manda la combinación de solo permanentes, la de menos carga, por su k_mod. Y, de la planta al pilar, el pilar del blog desde la bajada de cargas hasta el segundo orden.

Alcance: dos vanos iguales, con la misma sección, carga repartida y, como mucho, una puntual. Una continua de tres o más vanos, con luces distintas, o un pórtico necesitan un programa de cálculo de estructuras, como Ftool o edubeam; con sus esfuerzos, la calculadora comprueba la sección.

hormigón armado: flexión compuesta, dominios y pivotes

La herramienta comprueba una sección rectangular con armadura inferior y superior sometida a un axil N_d, un momento M_d y, si lo das, un cortante V_d con sus estribos, según el Código Estructural (Real Decreto 470/2021), que derogó la EHE-08 y adopta el Eurocódigo 2. Los dominios de deformación y los pivotes son los mismos que se estudian con la EHE-08.

hipótesis de cálculo

• Las secciones planas siguen planas (Navier–Bernoulli) y el acero se deforma igual que el hormigón que lo rodea.
• El hormigón no resiste tracciones. A compresión sigue el diagrama parábola-rectángulo: f_cd = α_cc·f_ck/γ_c, parábola hasta ε_c0 = 2 ‰ y rectángulo hasta ε_cu = 3,5 ‰ (con f_ck ≤ 50 N/mm²; por encima, ver hormigones de alta resistencia).
• El acero es elástico hasta f_yd = f_yk/γ_s (434,8 N/mm² en un B 500 S) y perfectamente plástico después, con un alargamiento máximo del 10 ‰.

los seis dominios de deformación

Un plano de rotura se define por la profundidad x de la fibra neutra, medida desde la fibra más comprimida. Según dónde quede x, la sección rompe de una forma u otra:

El límite entre los dominios 3 y 4 es x_lím = 3,5/(3,5 + ε_yd)·d. Con B 500 S, ε_yd = 434,8/200 000 = 2,17 ‰ y x_lím = 0,617·d; con B 400 S, 0,668·d.

En una viga conviene quedarse en el dominio 3, y mejor aún por debajo de x/d = 0,45, el límite que pone el EC2 (5.5(4)) para analizarla sin redistribuir momentos. El dominio 4 no está prohibido, así que una viga que resiste en él cumple, pero la herramienta añade una nota: la rotura sería frágil. En un pilar, con mucho axil, los dominios 4, 4a y 5 son lo normal y no hay nota.

Recórrelos en la calculadora. En el modo «explorar», el botón «recorrer dominios» mueve la fibra neutra de la tracción a la compresión, de x = −h/2 a x = 2h, y se para en cada límite: en x = 0, donde el hormigón empieza a comprimirse; en x = 0,259·d, con el acero al 10 ‰ y el hormigón al 3,5 ‰ a la vez; en x_lím, donde el acero deja de plastificar; en x = d, con la armadura de tracción a cero, y en x = h, con toda la sección comprimida. A la vez se mueven el plano en el diagrama de pivotes, el bloque comprimido y las fuerzas en la sección y el punto en el diagrama N–M, que sube por su borde. También puedes ir de uno en uno con «paso a paso», arrastrar ese punto por el borde del N–M o tocar un dominio en el diagrama de pivotes; si tienes activado «reducir movimiento» en el sistema, cada pulsación de «recorrer dominios» salta al dominio siguiente, sin animación.

los tres pivotes

• Pivote A: la armadura de tracción se alarga un 10 ‰. Gobierna los dominios 1 y 2.
• Pivote B: la fibra más comprimida del hormigón llega a ε_cu (3,5 ‰ con f_ck ≤ 50). Gobierna los dominios 3, 4 y 4a.
• Pivote C: deformación ε_c0 a una profundidad (1 − ε_c0/ε_cu)·h, que con f_ck ≤ 50 es 2 ‰ a 3h/7. Gobierna el dominio 5, cuando toda la sección está comprimida.

El pivote A, con el acero al 10 ‰, es el convenio de la EHE-08 y la herramienta lo conserva: de él salen los dominios 1 y 2. El Eurocódigo 2, y con él el Código Estructural, deja usar para el acero un diagrama con rama horizontal sin límite de alargamiento (EC2 3.2.7(2)b): entonces todos los planos de flexión giran alrededor del pivote B y el dominio 2 desaparece. En el momento último la diferencia es pequeña, pero en el dibujo no: en la viga por defecto con N_d = 0, la fibra neutra pasa de 103 a 83 mm (el acero llega al 20 ‰ en vez de al 10 ‰) y M_u sube un 0,7 %, de 284,3 a 286,4 kN·m. Si en tus apuntes no hay dominio 2, es por eso.

cómo lo resuelve la herramienta

1. Busca la x que equilibra el axil: la resultante de las compresiones del hormigón y las fuerzas de las armaduras tiene que valer exactamente N_d.
2. Con ese plano calcula el momento último M_u respecto al centro de gravedad de la sección bruta (h/2), que es donde actúa N_d.
3. Hace lo mismo con la sección girada, con la cara inferior comprimida y la armadura superior traccionada: da el momento último hacia la otra cara.
4. La sección cumple si, con ese N_d, M_d queda entre los dos momentos últimos (el de la sección girada, con su signo cambiado). Casi siempre basta con |M_d| ≤ M_u hacia la cara que comprime; con armado asimétrico, en tracción o con mucha compresión, también puede mandar el otro extremo.
5. En compresión exige además la excentricidad mínima e₀ = h/30 ≥ 20 mm (EC2 6.1(4)): un pilar nunca se comprueba con un momento menor que N_d·e₀, y si M_d = 0 se prueba hacia las dos caras.
6. Si la pieza es un pilar y le das su altura, el momento con el que comprueba la sección incluye la imperfección y, si es esbelto, el segundo orden (ver «pilares esbeltos», más abajo).

Debajo del dibujo de la sección van las dos ecuaciones de equilibrio del plano de rotura con tus números: la suma de fuerzas U_c + U_s2 + U_s1 = N_d y la suma de sus momentos respecto a h/2, que es M_u. En el dibujo, cada fuerza es una flecha: U_c, la resultante del hormigón comprimido, actúa a la profundidad y_G de su centro de gravedad, y N_d, en h/2. En la viga por defecto, 671,5 + 174,8 − 546,4 = 300 kN y M_u = 350,2 kN·m.

A mano se suele usar el bloque rectangular (EC2 3.1.7(3)): una tensión η·f_cd en una profundidad λ·x, con λ = 0,8 y η = 1 hasta f_ck = 50. La herramienta calcula con la parábola-rectángulo y enseña el bloque solo como contraste, y solo donde vale su hipótesis: con el hormigón agotado en la fibra más comprimida (pivote B, dominios 3, 4 y 4a). En una viga de 300×600 con 6ø20 abajo y sin armadura arriba, en flexión simple (dominio 3), el bloque da M_u = 403,0 kN·m y la parábola-rectángulo, 401,4: un 0,4 % más. En la viga por defecto, en el dominio 2, el hormigón no llega a ε_cu y el bloque no es aplicable.

El diagrama de interacción N–M dibuja todos los pares (M_u, N_u) recorriendo la x desde la tracción pura hasta la compresión pura, con la sección tal cual (rama derecha) y girada (rama izquierda). Tu punto de cálculo cumple si cae dentro.

Con armado asimétrico el intervalo de momentos que resiste la sección a un N_d dado puede no contener el cero. En la sección por defecto (4ø20 abajo y 2ø16 arriba), un tirante centrado de 400 kN no cumple aunque sobre armadura en total: con el axil en h/2 cada capa tiene que llevar la mitad, 200 kN, y la superior solo da 402·434,8 = 175 kN. Hace falta un momento de al menos 13 kN·m que comprima la cara superior. En un pilar muy comprimido pasa lo mismo, pero el momento mínimo tiene que comprimir la cara con más acero.

La compresión máxima tampoco es siempre la uniforme (ε_c0 en toda la sección). Con B 500 S, ε_yd = 2,17 ‰ es mayor que ε_c0 = 2 ‰: al girar alrededor del pivote C hacia la deformación uniforme, la armadura del lado más comprimido deja de estar plastificada. Si esa cara tiene más acero que la otra, pierde más fuerza de la que gana el hormigón, y N_u,máx queda en el dominio 5, algo por encima de la uniforme (un 2,6 % en un pilar de HA-25 de 250×250 con 4ø25 en una cara y 2ø12 en la otra). La herramienta busca ese máximo.

pilares esbeltos: pandeo y segundo orden

Un pilar comprimido no se queda recto: nunca se construye perfecto y, en cuanto flecta, el axil empuja sobre un pilar ya torcido y lo flecta más. Es el efecto de segundo orden, que en un pilar esbelto añade al momento de primer orden uno que puede ser mayor que él. Cuando la pieza es un pilar (el tipo automático lo es con ν > 0,1, o elígelo) y le das su altura, la herramienta lo comprueba con el Código Estructural (anejo 19, apartado 5.8), para un pilar aislado o de una estructura arriostrada:

1. Longitud efectiva, l₀ = β·l (5.8.3.2): β = 1 biarticulado, 0,7 empotrado y articulado, 0,5 biempotrado y 2 en ménsula (figura A19.5.7). En un pilar de un pórtico arriostrado, β = 0,5·√((1 + k₁/(0,45 + k₁))·(1 + k₂/(0,45 + k₂))), con la flexibilidad k de cada nudo (ec. 5.15): 0 si está empotrado y ∞ si está articulado.
2. Imperfección, e_i = l₀/400 (5.2(7) y 5.2(9)): se suma al momento de primer orden de los dos extremos, también en un pilar corto, porque las imperfecciones cuentan siempre en estado límite último.
3. Esbeltez, λ = l₀/i con i = h/√12, frente a la límite λ_lim = 20·A·B·C/√n (5.8.3.1, ec. 5.13), con n = N_d/(A_c·f_cd), A = 1/(1 + 0,2·φ_ef) (0,7 si no se conoce la fluencia), B = √(1 + 2ω) y C = 1,7 − r_m, con r_m = M₀₁/M₀₂, los momentos de primer orden de los extremos con la imperfección (5.8.2(5)): 1 si el momento es solo el de la imperfección, y cerca de 1 si tus momentos son pequeños a su lado. Si λ ≤ λ_lim, el pilar es corto y basta la sección. El anejo 19 imprime B = 1 + √(1 + 2ω): es una errata, porque así B no bajaría nunca de 2 y la misma cláusula dice que, si no se conoce ω, vale 1,1; el Eurocódigo 2 dice √(1 + 2ω), y es lo que usa la herramienta.
4. Si es esbelto, curvatura nominal (5.8.8): 1/r = K_r·K_φ·ε_yd/(0,45·d), con K_r = (1 + ω − n)/(1 + ω − 0,4) ≤ 1, que la reduce cuando el axil es grande, y K_φ = 1 + β·φ_ef ≥ 1, que la aumenta con la fluencia. La flecha de segundo orden es e₂ = (1/r)·l₀²/c, con c = 10 (8 si el momento de primer orden es constante), y M₂ = N_d·e₂.
5. El momento de cálculo es el mayor de M₀₂ (en el extremo), M_0e + M₂ (en el centro, con M_0e = 0,6·M₀₂ + 0,4·M₀₁ ≥ 0,4·M₀₂), M₀₁ + 0,5·M₂ y N_d·e₀, y con él se comprueba la sección como siempre. El gráfico «el pilar» lo dibuja y la flecha del diagrama N–M va del primer al segundo orden.

El pilar central del ejercicio resuelto de bajada de cargas del blog, de 300×300 y 3,5 m, es el segundo ejemplo de abajo. Con N_d = 1356,96 kN, λ = 40,4 está muy por encima de λ_lim = 12,5 (con un axil reducido de 0,90 el límite es bajo: cuanto más cargado está un pilar, antes cuenta el pandeo), la flecha de segundo orden es e₂ = 14,7 mm y M_Ed = 31,8 kN·m, más que N_d·e₀ = 27,1 kN·m: la flexión va al 61 %.

Por qué la EHE-08 daba más. Su método aproximado (43.5.1) sumaba a la excentricidad de primer orden e_e una ficticia, e_a = (1 + 0,12·β)·(ε_y + 0,0035)·(h + 20·e_e)/(h + 10·e_e)·l₀²/(50·i_c), sin reducirla por el axil, y muchos apuntes toman como e_e la excentricidad mínima (h/20 ≥ 2 cm). En el mismo pilar, e_a = 25,2 mm y e_tot = 45,2 mm: N_d·e_tot = 61,3 kN·m, el 117 % del momento que resiste la sección, frente a los 23,4 mm de e_i + e₂ con el Código Estructural. Son dos diferencias: el Código Estructural no suma la excentricidad mínima a la de segundo orden, sino que toma la mayor (y la imperfección, l₀/400, es menor), y su K_r = 0,39 recoge que, con tanto axil, la sección rompe con el acero lejos de plastificar y la curvatura de rotura es menor.

Quedan fuera los pilares de pórticos traslacionales (no arriostrados), cuya longitud efectiva sale de la rigidez de las vigas (ec. 5.16) y cuyos efectos de segundo orden son de toda la estructura (5.8.3.3 y 5.8.7), y la flexión esviada (5.8.9). Un pilar aislado en ménsula (figura A19.5.7 b) sí entra, con r_m = 1, como pide 5.8.3.1 para los elementos sin arriostrar.

dimensionar: μ, ω y el ábaco

En el examen casi nunca te dan la armadura: te piden la que hace falta. El modo dimensionar de la calculadora la calcula como se hace a mano y la propone en barras. En una viga, con el bloque rectangular (EC2 3.1.7(3): una tensión f_cd en una profundidad 0,8·x, hasta f_ck = 50 N/mm²), el momento reducido μ = M_d/(b·d²·f_cd) da la cuantía mecánica ω = 1 − √(1 − 2·μ) y la armadura A_s = ω·b·d·f_cd/f_yd. En la viga por defecto en flexión simple (M_d = 200 kN·m, N_d = 0), μ = 0,106, ω = 0,113 y A_s = 870 mm²; con la parábola-rectángulo, la del veredicto, buscada numéricamente, 877 mm², la que lleva la comprobación justo al 100 %. La herramienta propone las barras de ø12 a ø25 que caben en una capa y da menos área: 3ø20. Con axil, el momento se toma respecto a la armadura de tracción, M_s = M_d + N_d·(d − h/2), y A_s = (ω·b·d·f_cd − N_d)/f_yd.

El límite: para que la rotura avise, en una viga se busca x/d ≤ 0,448 (EC2 5.5(4) con δ = 1, el «0,45» de los apuntes), que con el bloque rectangular es μ_lím = 0,294. Si μ pasa de ahí, hace falta armadura de compresión, con el plano en el límite: A_s2 = (M_d − μ_lím·b·d²·f_cd)/((d − d₂)·σ_s2). El límite de los dominios 3 y 4, x_lím/d = 0,617 con B 500 S, daría μ = 0,372: deja el acero justo plastificado, pero la rotura avisa menos.

En un pilar, que puede flectar hacia las dos caras, el armado es simétrico, y las escuelas lo leen en un ábaco adimensional: ν = N_d/(b·h·f_cd) en vertical, μ = M_d/(b·h²·f_cd) en horizontal y una curva por cuantía mecánica total ω = A_s,tot·f_yd/(b·h·f_cd). La calculadora dibuja el ábaco de tu sección, porque cambia con d₁/h, con el acero y, por encima de f_ck = 50, con el hormigón, y busca el ω exacto de tu punto con la excentricidad mínima y, si el pilar tiene altura, la imperfección y el segundo orden, que dependen del propio armado. Si el cálculo pide menos que la cuantía mínima del Código Estructural, propone la mínima y lo dice. «Comprobar con este armado» escribe las barras y pasa a comprobarlas.

cuantías mínima y máxima y separación de barras

Que la sección resista no basta: la norma pide además un mínimo y un máximo de armadura, y que las barras quepan con hueco para que el hormigón las envuelva. La herramienta lo comprueba en la misma lista de comprobaciones, según el tipo de pieza que elijas. En «automático» la pieza es una viga si ν = N_d/(A_c·f_cd) ≤ 0,1 y un pilar si es mayor, que es la definición del Eurocódigo 8.

• Viga (Código Estructural, anejo 19, 9.2.1.1, ec. 9.1): en la cara traccionada, A_s,mín = (W/z)·f_ctm,fl/f_yd, con W = b·h²/6 el módulo resistente de la sección bruta, z = 0,8·h y f_ctm,fl = máx((1,6 − h/1000)·f_ctm; f_ctm) la resistencia a flexotracción (3.1.8). En la viga por defecto (300×600, HA-30 con f_ctm = 2,90 N/mm² y B 500 S con f_yd = 434,8 N/mm²) son 250 mm², un 1,4 ‰ de b·h. La armadura de cada cara no pasa de 0,04·A_c.
• Pilar (anejo 19, 9.5.2): en cada cara, A′_s ≥ 0,05·N_d/f_yc,d, con f_yc,d = f_yd sin pasar de 400 N/mm²; en compresión simple con armado simétrico, el total ≥ 0,10·N_d/f_yd (ec. 9.12). Las barras son de ø12 o más, hay una en cada esquina (con una capa por cara, dos en cada una) y la armadura total no pasa de 0,04·A_c.
• Separación (EC2 8.2(2)): entre dos barras de una capa queda libre al menos el mayor de ø, d_g + 5 mm y 20 mm, con d_g el tamaño máximo del árido. Con 4ø20 en 300 mm de ancho y d₁ = 40 mm quedan 53 mm libres; 10ø25 no caben en una capa. La misma regla vale en vertical, entre la capa inferior y la superior: h − d₁ − d₂ − (ø₁ + ø₂)/2, que solo aprieta en piezas muy bajas (en 120 mm de canto, dos capas de ø16 a 40 mm de cada cara dejan 24 mm, menos de los 25 que pide un árido de 20).

En las cuantías mínimas el Código Estructural no sigue las fórmulas recomendadas del Eurocódigo 2 (0,26·f_ctm/f_yk·b·d ≥ 0,0013·b·d en vigas, ec. 9.1N; 0,10·N_Ed/f_yd ≥ 0,002·A_c en pilares, ec. 9.12N): conserva las cuantías mecánicas de la EHE-08 (artículos 42.3.2 y 42.3.3) y deja de pedir las geométricas de su tabla 42.3.5 (2,8 ‰ de la sección en vigas con B 500 S y 4 ‰ en pilares). Si tus apuntes son de la EHE-08 o del Eurocódigo, la cifra puede no coincidir: en la viga por defecto, el EC2 pide 253 mm² y la tabla de la EHE-08, 504 mm². La tabla «qué cambió de la EHE-08 al Código Estructural», más abajo, reúne estas diferencias y las demás.

cortante: sin estribos y con estribos

Cerca de los apoyos el cortante abre fisuras inclinadas, a unos 45°, que la armadura longitudinal no cose. Si escribes un cortante V_d (o lo saca la viga de las cargas, en los apoyos), la herramienta lo comprueba con el Código Estructural, anejo 19, 6.2, con estribos verticales, y dibuja la celosía de bielas y estribos. En la viga por defecto, V_d = 100 kN con estribos de ø8 de dos ramas cada 200 mm.

• Sin armadura de cortante (6.2.2(1), ec. 6.2.a y 6.2.b): V_Rd,c = [C_Rd,c·k·(100·ρ_l·f_ck)^1/3 + 0,15·σ_cp]·b·d, y no menos de (v_mín + 0,15·σ_cp)·b·d. Resisten el hormigón comprimido, el engranaje de los áridos en la fisura y el efecto pasador de la armadura: C_Rd,c = 0,18/γ_c; k = 1 + √(200/d) ≤ 2 recoge que una pieza de más canto resiste menos por unidad de área (1,598 con d = 560 mm); ρ_l ≤ 0,02 es la cuantía de la armadura de tracción, la que cose la fisura (7,48 ‰); σ_cp = N_d/A_c < 0,2·f_cd, la compresión del axil, que cierra la fisura y ayuda (1,67 N/mm²); y v_mín = 0,035·k^3/2·f_ck^1/2, el suelo. La viga por defecto da V_Rd,c = 132,8 kN (90,8 sin su axil). Donde V_d ≤ V_Rd,c no hace falta armadura de cálculo (6.2.1(3)), pero una viga lleva siempre la mínima (6.2.1(4)); solo las losas y los elementos menores pueden ir sin ella.
• Con estribos (6.2.3, ec. 6.8 y 6.9): la pieza fisurada trabaja como la celosía de Mörsch, con la armadura de tracción y el hormigón comprimido de cordones, separados z = 0,9·d, las bielas de hormigón inclinadas θ y los estribos de montantes. Los estribos que cruza una fisura dan V_Rd,s = (A_sw/s)·z·f_ywd·cotθ (110,1 kN en la viga por defecto) y las bielas se aplastan con V_Rd,máx = α_cw·b·z·ν₁·f_cd/(cotθ + tanθ), con ν₁ = 0,6·(1 − f_ck/250) (798 kN). Con estribos, el hormigón no se suma: V_Rd = V_Rd,s, cuando en la EHE-08 era V_u2 = V_cu + V_su. Si V_Rd,s sale menor que V_Rd,c, manda V_Rd,c: la pieza no necesitaba armadura de cálculo. Por eso la herramienta compara V_d con máx(V_Rd,c; V_Rd,s): en la viga por defecto, 75 %. Con V_d = 150 kN ya no basta el hormigón y los estribos tienen que dar los 150 solos: ø8 de dos ramas cada 140 mm. f_ywd = f_ywk/γ_s, sin tope: el anejo 19 no limita la resistencia de los estribos en cortante (el 250 + 0,25·d de 6.4.5 es del punzonamiento). La EHE-08 sí: su f_yα,d es la de 40.2 (44.2.3.2.2), que pide limitar la deformación de los tirantes, y ella misma lo escribe f_yd ≤ 400 N/mm² (40.2) en zapatas, encepados y ménsulas; por eso los apuntes de la EHE-08 calculan los estribos con 400 N/mm². Con B 500 S, 434,8 frente a 400 N/mm²: con el Código Estructural los mismos estribos dan un 9 % más.
• Por qué cotθ: el anejo 19 deja elegir la inclinación de las bielas entre cotθ = 0,5 y 2 (6.2.3(2), ec. 6.7), el intervalo de la EHE-08; el Eurocódigo 2 sin anejo nacional recomienda de 1 a 2,5. Con cotθ = 1, bielas a 45°, la celosía clásica: es la que más resisten las bielas y de las que sirven (cotθ ≥ 1), la que menos decala la armadura, y la que usan casi todos los apuntes, así que es el valor por defecto. Tumbar las bielas hasta cotθ = 2 (θ = 26,6°) hace que cada fisura cruce el doble de estribos: V_Rd,s pasa a 220,3 kN con los mismos estribos, pero V_Rd,máx baja a 639 kN y el decalaje se duplica. Con estribos verticales, bajar de 1 no ayuda nunca: bajan las dos.
• Disposiciones (9.2.2): en vigas, ρ_w = A_sw/(s·b) ≥ ρ_w,mín = 0,08·√f_ck/f_yk (ec. 9.5: 0,88 ‰ con HA-30 y B 500 S, frente a 1,68 ‰ de ø8 cada 200); estribos como mucho cada 0,75·d (ec. 9.6) y, si las barras comprimidas cuentan en la resistencia, cada 15 veces su diámetro (9.2.1.2(3)): en la viga por defecto, las 2ø16 de arriba van comprimidas, así que 240 mm y no 420; y las ramas de un estribo a no más de 0,75·d ni de 600 mm entre sí (ec. 9.8), lo que en una viga plana obliga a dos o tres cercos. En pilares, los cercos de 9.5.3: ø ≥ máx(6 mm; ø_máx/4) y separación ≤ mín(15·ø_mín; 300 mm; la menor dimensión), reducida a 0,6 veces junto a las vigas y en los solapos.
• El decalaje (9.2.1.3(2), ec. 9.2): las fisuras inclinadas hacen que la armadura de tracción lleve en cada sección la fuerza del momento de una sección más alejada del apoyo. La celosía le añade ΔF_td = 0,5·V_Ed·cotθ (6.2.3(7)), que se cubre desplazando la ley de momentos a_l = z·cotθ/2 hacia donde es más desfavorable: la armadura se prolonga a_l más allá de donde la pide la flexión, antes de anclarla (252 mm en la viga por defecto, 504 con cotθ = 2). Sin estribos, a_l = d (6.2.2(5)).

Con la viga de las cargas, el cortante se lee en los apoyos, del lado seguro: con carga repartida, la norma deja comprobarlo a un canto útil del borde del apoyo (6.2.1(8)) y reducir el de las cargas muy cercanas a él (6.2.2(6)), que la herramienta no aplica. Y se lee en cada cara: como V_Rd,c depende de la armadura de la cara que tracciona el momento, la herramienta comprueba el mayor V_d donde tracciona la inferior y el mayor donde tracciona la superior, y manda el que más pide. En una viga empotrada y apoyada con poca armadura abajo puede mandar el apoyo simple, con menos cortante que el empotramiento. Tampoco calcula estribos inclinados ni barras levantadas, la torsión, el punzonamiento ni las zonas sin fisurar de 6.2.2(2).

la flecha sin calcularla: la esbeltez l/d

La flecha de una viga de hormigón no se calcula como la de una de acero. Donde el momento pasa del de fisuración la sección se fisura y su rigidez cae a una fracción de la bruta, y con los años la fluencia y la retracción la multiplican por dos o por tres. Calcularla bien pide el método de 7.4.3 (en la EHE-08, la inercia equivalente de Branson), sección a sección y con la historia de cargas. Por eso el Código Estructural da un atajo: si la viga es lo bastante gruesa, «se puede considerar que las deformaciones no van a superar» L/250 (la apariencia) ni L/500 (la que daña los tabiques), sin calcularlas (anejo 19, 7.4.2, el mismo texto y la misma tabla del Eurocódigo 2). La calculadora lo aplica cuando los esfuerzos salen de la viga de las cargas:

si ρ ≤ ρ₀ (7.16.a):
L/d ≤ K·[11 + 1,5·√f_ck·ρ₀/ρ
    + 3,2·√f_ck·(ρ₀/ρ − 1)^3/2]

si ρ > ρ₀ (7.16.b):
L/d ≤ K·[11 + 1,5·√f_ck·ρ₀/(ρ − ρ′)
    + √f_ck·√(ρ′/ρ₀)/12]

• ρ es la cuantía necesaria, A_s,req/(b·d) en el centro del vano (en un voladizo, en el arranque): la que pide el cálculo para las acciones de cálculo, sin la cuantía mínima, la del modo «dimensionar», no la que colocas. ρ′ es la de compresión que pide el cálculo, si hace falta. ρ₀ = 10⁻³·√f_ck es la referencia (5,48 ‰ con HA-30). Poca cuantía quiere decir una viga sobrada de canto, que se fisura poco: admite más esbeltez.
• K recoge los apoyos (tabla A19.7.4): 1,0 en una viga biapoyada, 1,3 en una empotrada y apoyada (el vano extremo de una viga continua), 1,5 en una biempotrada (un vano interior) y 0,4 en un voladizo. Como centro del vano la herramienta toma la sección de momento máximo, que en la biapoyada con carga repartida es el centro y en las demás está cerca: con más momento sale más ρ y menos esbeltez, del lado seguro.
• La armadura colocada de más trabaja a menos tensión en servicio y la viga flecha menos. La 7.16 supone el acero a 310 N/mm² (con f_yk = 500 y la armadura justa), y el resultado se multiplica por 310/σ_s = 500/(f_yk·A_s,req/A_s,prov) (ec. 7.17). El anejo no le pone tope; la herramienta no lo deja pasar de 1,5, del lado seguro.
• Con más de 7 m de luz y tabiques que se pueden dañar (frágiles u ordinarios, el mismo campo «tabiques del piso» de las flechas del acero y la madera), × 7/L, con L en metros. Una sección en T con el ala de más de tres veces el alma llevaría además × 0,8; la de la herramienta es rectangular. La g_k después de los tabiques no entra: la esbeltez no separa las cargas.

Un ejemplo: la viga por defecto con 500 mm de canto, 4ø25 abajo y estribos cada 100 mm, biapoyada de 9 m con 3 m de forjado de vivienda (g_k = 4 y q_k = 2 kN/m², más su peso) y tabiques ordinarios. Resiste: la flexión queda al 88 % y pide A_s,req = 1792 mm², ρ = 13,0 ‰ > ρ₀, y la 7.16.b da 14,5. Con 310/σ_s = 1,10 y × 7/9, el límite es L/d = 12,3, y la viga tiene 19,6: el 159 %, «no cumple: flecha». Sin tabiques que dañar, sin el 7/9, aún el 123 %. Lo que la arregla es el canto, no el acero: más armadura sube 310/σ_s, pero solo hasta 1,5. Ábrelo en la calculadora.

hormigones de alta resistencia

Por encima de f_ck = 50 N/mm² el diagrama cambia (EC2 tabla 3.1): ε_c2 = 2,0 + 0,085·(f_ck − 50)^0,53 ‰, ε_cu2 = 2,6 + 35·[(90 − f_ck)/100]⁴ ‰ y el exponente de la parábola baja de 2 a 1,4 + 23,4·[(90 − f_ck)/100]⁴. La herramienta los aplica solos hasta f_ck = 90, y el pivote C se desplaza a (1 − ε_c2/ε_cu2)·h. Con ellos cambian también los límites de los dominios, x_2/3 = ε_cu2/(ε_cu2 + 10 ‰)·d y x_lím = ε_cu2/(ε_cu2 + ε_yd)·d: en un HA-70, ε_cu2 = 2,66 ‰ y el pivote C queda a 0,09·h del borde comprimido, y el resultado lo muestra con los valores de tu hormigón.

qué cambió de la ehe-08 al código estructural

El Código Estructural derogó la EHE-08 en noviembre de 2021, y su anejo 19 es el Eurocódigo 2 con las elecciones de España. Muchos apuntes siguen con la EHE-08: si un número de la herramienta no coincide con el tuyo, mira esta tabla antes de pensar que uno de los dos está mal. Entre paréntesis, el artículo de cada norma.

El 0,85 de muchos apuntes viene de la EHE-98 y de la EH-91, cuyo diagrama parábola-rectángulo llegaba a 0,85·f_cd. La EHE-08 ya tomaba α_cc = 1 con carácter general, y el Código Estructural solo deja bajarlo cuando casi toda la carga es permanente: el pilar del segundo ejemplo de abajo enseña cuánto cambia. Y si tus apuntes son del Eurocódigo 2 sin anejo nacional, la cuantía mínima de una viga es la de su ecuación 9.1N, 0,26·f_ctm/f_yk·b·d ≥ 0,0013·b·d, que el Código Estructural no adopta: 253 mm² en la viga por defecto.

ejemplos resueltos

Calculados con la herramienta: los datos, el resultado, el dibujo y el desarrollo salen del mismo motor que la calculadora, y «ábrelo en la calculadora» abre el cálculo con esos datos para que cambies lo que quieras.

perfiles de acero: clase, pandeo, vuelco lateral e interacción

Los perfiles se comprueban según el CTE DB SE-A y el anejo 22 del Código Estructural, ambos basados en el Eurocódigo 3, con γ_M0 = γ_M1 = 1,05. Las dimensiones, la clase y las resistencias de cálculo de cada perfil del catálogo, en S 275 y S 355, están en el prontuario de perfiles, que calcula el mismo motor.

1 · resistencia de la sección

El límite elástico f_y baja con el espesor de la chapa (CTE DB SE-A tabla 4.1, que recoge la UNE-EN 10025). La herramienta toma el mayor espesor del perfil, máx(t_f, t_w), que en un perfil en I es el del ala: un HEB 300 (t_f = 19 mm) de S 275 trabaja con 265 N/mm², no con 275.

La tabla 3.1 del Eurocódigo 3 permite simplificar con un solo valor hasta 40 mm (y para el S 450 da 440 N/mm²), pero el CTE usa la de la norma de producto, y es la que sigue la herramienta. Si eliges «otra» calidad, se usa tal cual el f_y que escribas.

En un tubo cuadrado, la fabricación cambia también la sección. Las esquinas de un tubo conformado en frío son más redondeadas, así que con el mismo lado y el mismo espesor tiene menos área, inercia y módulos. La herramienta calcula A, I, W e i desde la geometría, con los radios de esquina de cada norma de producto:

• UNE-EN 10219-2 (conformado en frío): r_o = 2t hasta 6 mm, 2,5t hasta 10 mm y 3t por encima, con r_i = r_o − t.
• UNE-EN 10210-2 (laminado en caliente): r_o = 1,5t y r_i = t.

Un tubo 200×10 tiene 72,6 cm² y W_pl = 508 cm³ conformado en frío, y 74,9 cm² y 531 cm³ laminado en caliente. Si no sabes cómo se fabricó el tuyo, deja «conformado en frío»: da la sección menor y la curva de pandeo más desfavorable (c), así que queda del lado seguro.

• Axil: N_pl,Rd = A·f_y/γ_M0.
• Flexión: M_c,Rd = W·f_y/γ_M0, con W_pl en clases 1 y 2 y W_el en clase 3.
• Cortante: V_pl,Rd = A_v·f_y/(√3·γ_M0). En un perfil en I laminado, A_v = A − 2·b·t_f + (t_w + 2r)·t_f.
• Si V_Ed > 0,5·V_pl,Rd, el cortante reduce el momento resistente con ρ = (2·V_Ed/V_pl,Rd − 1)² (EC3 6.2.8).

Un UPN no es simétrico respecto al eje z, y en ese eje la fibra más alejada es la punta de las alas: W_el,z = I_z/(b − y_s), con y_s la distancia del dorso del alma al centro de gravedad, que la herramienta toma del catálogo (en un UPN 200, y_s = 20,1 mm y W_el,z = 27,0 cm³). El ala tiene la cara interior inclinada y es más gruesa junto al alma: con rectángulos, el centro de gravedad sale de 1 a 2,5 mm más afuera y W_el,z, entre un 1 y un 4 % mayor, del lado inseguro. En clase 1 o 2 vale el plástico, como en cualquier perfil (CTE DB SE-A 6.2.6 y tabla 6.8): W_pl,z = 51,8 cm³, casi el doble. Con las propiedades editadas, los dos salen de la forma de la DIN 1026-1 (el ala con su pendiente y los acuerdos) con tu h, b, t_w, t_f y r. Y con M_y y M_z a la vez, el alma queda entera a un lado de la fibra neutra de M_z y se clasifica comprimida, del lado seguro.

2 · clasificación de la sección

Las paredes delgadas abollan antes de plastificar. Cada pared se clasifica por su esbeltez c/t frente a unos límites que dependen de ε = √(235/f_y):

Con flexión y axil a la vez, el alma usa los límites intermedios de la tabla 5.2 (con α plástico y ψ elástico): la herramienta los calcula con tus esfuerzos. Un IPE 400 de S 355 es de clase 1 a flexión pero de clase 4 a compresión pura.

3 · pandeo por flexión

La longitud de pandeo L_k no es la longitud de la pieza: es la distancia entre los puntos de inflexión de su deformada al pandear, la de la barra biarticulada equivalente. Se calcula como L_k = β·L, con β según cómo están sujetos los extremos en cada eje (CTE DB SE-A tabla 6.1, barras canónicas):

Cada eje tiene la suya: un pilar arriostrado a media altura en su plano débil tiene L_k,z = L/2 aunque L_k,y = L. En la herramienta eliges los extremos de cada eje con su dibujo y ella escribe L_k; si escribes otra, el eje pasa a «otro». Son valores de barras aisladas: el pilar de un pórtico depende de la rigidez de las vigas que le llegan, y el CTE DB SE-A da su β en 6.3.2.5 (intraslacional entre 0,5 y 1; traslacional, de 1 en adelante). El gráfico «modos de pandeo y vuelco» dibuja la pieza en cada eje con su modo de pandeo y su L_k a escala.

La esbeltez reducida es λ̄ = L_k/(i·λ₁), con λ₁ = 93,9·ε. El coeficiente de reducción χ sale de la curva europea que corresponde a la sección (EC3 tabla 6.2): en un IPE, curva a en el eje fuerte y b en el débil; en HEA y HEB de hasta 360 mm, b y c; en un UPN, c; en un tubo, a si está laminado en caliente y c si está conformado en frío. N_b,Rd = χ·A·f_y/γ_M1.

Un UPN tiene además un modo de pandeo propio. Solo es simétrico respecto al eje y, y su centro de esfuerzos cortantes cae por detrás del alma, a y₀ = 39,4 mm del centro de gravedad en el UPN 200 (tablas de ArcelorMittal). Si pandea según z, la pieza se mueve a lo largo del eje de simetría y no gira; si pandea en el plano del alma, según y, la carga, que pasa por el centro de gravedad, la hace girar a la vez: es el pandeo por flexotorsión (EC3 6.3.1.4; el CTE DB SE-A no lo cubre, 6.3.2(2)). Su carga crítica N_cr,TF sale de la de Euler según y y de la de torsión, N_cr,T = (G·I_t + π²·E·I_w/l_T²)/i₀², y queda por debajo de las dos (EN 1993-1-3 6.2.3). Con λ̄_T = √(A·f_y/N_cr,TF) y la curva del eje z, la herramienta toma el menor N_b,Rd. En un UPN 200 de S 275 y 3 m, N_cr,TF = 1358 kN es 4,0 veces la de Euler según z y manda la flexión: N_b,Rd = 236 kN. Pero arriostrarlo en el plano débil sirve hasta cierto punto: con l_k,z = 1,5 m los dos modos se igualan y, con l_k,z = 1 m, la flexión según z daría 693 kN y manda la flexotorsión, con 555 kN, un 20 % menos: no depende de l_k,z. La longitud de pandeo por torsión l_T es la de los apoyos que impiden el giro: la herramienta toma la mayor l_k de los dos ejes y, si un extremo está empotrado, no menos que L, del lado seguro.

4 · vuelco lateral

Una viga en I flectada sin arriostrar puede girar y desplazarse de lado. El momento crítico elástico, con la carga en el centro de esfuerzos cortantes, es

M_cr = C₁ · (π²·E·I_z/L²) · √( I_w/I_z + L²·G·I_t/(π²·E·I_z) )

I_t es la inercia a torsión uniforme e I_w = I_z·h_s²/4 el módulo de alabeo, con h_s = h − t_f. En los perfiles laminados la herramienta calcula I_t con los acuerdos entre alma y alas, como las tablas de perfiles (IPE 300: 20,12 cm⁴); contando solo los rectángulos saldría entre un 9 y un 29 % menor. En la sección manual, que no tiene acuerdos, usa los rectángulos.

Con M_cr, λ̄_LT = √(W_y·f_y/M_cr), χ_LT sale de la curva a (h/b ≤ 2) o b, y M_b,Rd = χ_LT·W_y·f_y/γ_M1. Si λ̄_LT ≤ 0,4 el vuelco no se tiene en cuenta (EC3 6.3.2.2(4)). C₁ recoge la forma de la ley de momentos entre arriostramientos:

Los dos últimos son los de la tabla 6.7 del CTE DB SE-A, que solo da leyes lineales; los de la carga repartida y la puntual son los de la tabla F.1.2 de la ENV 1993-1-1, la misma fuente de la fórmula de M_cr, con k = 1 (el ala libre de girar en planta en los apoyos). Todos valen entre dos arriostramientos con la torsión impedida y sin momentos en los extremos: en una viga empotrada la ley es otra, y con la viga de las cargas la herramienta toma C₁ = 1, el del momento uniforme, que es la ley más desfavorable y queda del lado seguro (la tabla F.1.2 da 1,285 en la biempotrada con carga repartida y 1,565 con puntual centrada). Una ménsula no tiene horquilla en el extremo libre: la herramienta la trata como la mitad de una viga de 2·L con momento uniforme (L_b = 2·L, C₁ = 1).

Los valores de C₁ suponen la carga en el eje, en el centro de esfuerzos cortantes. Una carga que cuelga del ala superior desestabiliza la viga: al girar, la carga se desplaza con el ala y empuja hacia el vuelco. El Eurocódigo 3 lo recoge con un término C₂·z_g que baja M_cr y que la herramienta no incluye: con la carga sobre el ala superior, el resultado queda del lado inseguro.

5 · axil y flexión con pandeo

Si la pieza está comprimida y flectada se cumplen a la vez las ecuaciones 6.61 (eje y) y 6.62 (eje z) del EC3, con los coeficientes k_yy, k_yz, k_zy y k_zz del anejo B. La herramienta toma C_m = 1, que queda del lado de la seguridad para cualquier ley de momentos.

Las dos ecuaciones son para secciones con doble simetría (EC3 6.3.3(1)) y llevan los χ del pandeo por flexión. En un UPN, el pandeo según y va siempre acoplado con el giro: es el de flexotorsión, con N_cr,TF por debajo de N_cr,y y, con la misma curva, χ_T por debajo de χ_y. Así que la herramienta hace la 6.61, la ecuación del eje y, con él, con n_y = N_Ed/N_b,Rd,T y λ̄_T en k_yy, del lado seguro, como la EN 1993-1-3 (6.2.5), que toma el menor N_b,Rd de todos los modos. La 6.62 sigue con χ_z, porque el pandeo según z no hace girar la pieza; solo su k_zy = 0,6·k_yy (tabla B.1, pieza arriostrada) sube con k_yy. En un UPN 200 de S 275 y 3 m arriostrado a tercios en el plano débil, con N_Ed = 300 kN y M_y,Ed = 10 kN·m, la 6.61 da un 76 %; con χ_y de la flexión daría un 59 %.

ejemplos resueltos

Calculados con la herramienta: los datos, el resultado, el dibujo y el desarrollo salen del mismo motor que la calculadora, y «ábrelo en la calculadora» abre el cálculo con esos datos para que cambies lo que quieras.